Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai pola perubahan yang tetap. Misalnya, tabungan yang bertambah dengan jumlah sama setiap bulan, atau tumpukan batu bata yang semakin ke bawah semakin melebar secara teratur. Dalam matematika, pola pertumbuhan yang konstan ini disebut Aritmatika. Artikel ini akan mengupas tuntas bagaimana pola ini terbentuk, bagaimana merumuskannya, dan melihat bentuk visualnya agar konsep ini dapat dipahami oleh siapa saja, bukan hanya matematikawan.
1. Barisan Aritmatika ($U_n$)
Barisan Aritmatika adalah urutan bilangan (suku) di mana selisih antara suku yang berurutan selalu sama. Selisih tetap ini kita sebut sebagai beda ($b$). Suku pertama biasanya dilambangkan dengan huruf $a$.
Untuk menemukan rumus suku ke-$n$ ($U_n$), mari kita uraikan polanya secara manual. Bayangkan kita menyusun balok:
- $U_1$ Cukup suku awal saja $\rightarrow a$
- $U_2$ Suku awal ditambah 1 kali beda $\rightarrow a + b$
- $U_3$ Suku awal ditambah 2 kali beda $\rightarrow a + 2b$
Perhatikan polanya: Pengali $b$ selalu berkurang satu dari urutan sukunya ($n$). Jika sukunya ke-100, kita menambah $b$ sebanyak 99 kali. Maka, rumus umumnya adalah:
Visualisasi Struktur Suku ($U_n$)
Diagram di bawah ini membedah isi dari setiap suku. Perhatikan bahwa setiap suku memiliki dasar yang sama ($a$) berwarna biru, dan bertambah tinggi karena tumpukan beda ($b$) berwarna oranye.
Diketahui barisan aritmatika: $5, 12, 19, 26, \dots$. Tentukan nilai suku ke-50.
Pembahasan:- Identifikasi suku pertama ($a$): $5$.
- Identifikasi beda ($b$): $12 - 5 = 7$. Cek konsistensi: $19 - 12 = 7$. Maka $b=7$.
- Substitusi ke rumus $U_n$: $$U_{50} = 5 + (50 - 1)7$$ $$U_{50} = 5 + (49 \times 7)$$ $$U_{50} = 5 + 343$$ $$U_{50} = 348$$
Jadi, suku ke-50 adalah 348.
Suatu barisan aritmatika memiliki suku ke-3 bernilai 11 dan suku ke-8 bernilai 31. Tentukan rumus umum suku ke-$n$ barisan tersebut.
Pembahasan:Kita ubah informasi menjadi persamaan matematika:
(i) $U_3 = a + 2b = 11$
(ii) $U_8 = a + 7b = 31$
Cari selisih persamaan (ii) dan (i) untuk menghilangkan $a$:
$(a + 7b) - (a + 2b) = 31 - 11$
$5b = 20 \implies b = 4$
Masukkan $b=4$ ke persamaan (i) untuk mencari $a$:
$a + 2(4) = 11 \implies a + 8 = 11 \implies a = 3$
Susun rumus umum dengan $a=3$ dan $b=4$:
$U_n = 3 + (n-1)4 = 3 + 4n - 4$
Maka rumus umumnya adalah $U_n = 4n - 1$.
Seorang petani mencatat hasil panen apelnya. Pada bulan pertama ia memanen 150 kg. Karena perawatan yang makin baik, hasil panen meningkat tetap sebanyak 20 kg setiap bulan. Berapa kilogram apel yang ia panen pada bulan ke-12?
Pembahasan:Masalah ini adalah masalah barisan aritmatika karena kenaikannya tetap.
- Suku pertama ($a$): 150.
- Beda ($b$): 20.
- Ditanya: Bulan ke-12 ($U_{12}$).
$$U_{12} = 150 + (12 - 1)20$$ $$U_{12} = 150 + 11(20)$$ $$U_{12} = 150 + 220 = 370$$
Jadi, pada bulan ke-12 hasil panennya adalah 370 kg.
2. Deret Aritmatika ($S_n$)
Jika Barisan adalah daftar urutan bilangannya, maka Deret Aritmatika adalah jumlah total dari bilangan-bilangan tersebut. Lambangnya adalah $S_n$.
Rumus ini ditemukan dengan cara yang cerdik: menjumlahkan deret dari depan ke belakang, lalu menjumlahkannya lagi dari belakang ke depan.
Kita mendapatkan pasangan $(a + U_n)$ sebanyak $n$ kali. Karena itu adalah $2S_n$, maka untuk mendapatkan $S_n$, kita bagi dua:
Atau jika $U_n$ dijabarkan:
Laboratorium: Bagaimana $S_n$ Terbentuk?
Visualisasi ini menunjukkan bahwa Deret ($S_n$) adalah tumpukan akumulatif dari Suku ($U_n$). Kami mempertahankan warna $a$ (biru) dan $b$ (oranye) agar Anda dapat melihat bagaimana total jumlah terbentuk dari komponen-komponen dasarnya.
Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 4 antara 10 dan 100 (tidak termasuk 10 dan 100).
Pembahasan:Barisan bilangan yang dimaksud adalah: $12, 16, 20, \dots, 96$.
- Suku pertama ($a$) = 12 (Kelipatan 4 pertama setelah 10).
- Suku terakhir ($U_n$) = 96 (Kelipatan 4 terakhir sebelum 100).
- Beda ($b$) = 4.
- Mencari banyaknya suku ($n$) terlebih dahulu: $$U_n = a + (n-1)b$$ $$96 = 12 + (n-1)4$$ $$84 = 4(n-1)$$ $$21 = n - 1 \implies n = 22$$
- Menghitung Jumlah ($S_{22}$): $$S_{22} = \frac{22}{2}(12 + 96)$$ $$S_{22} = 11(108)$$ $$S_{22} = 1188$$
Total jumlah bilangan tersebut adalah 1.188.
Sebuah perusahaan memberi bonus kepada karyawan setiap akhir tahun. Tahun pertama bonusnya Rp 1.000.000. Setiap tahun berikutnya, bonus naik sebesar Rp 200.000 dari tahun sebelumnya. Berapa total bonus yang diterima seorang karyawan setelah bekerja selama 10 tahun?
Pembahasan:Kata kunci "total bonus" menunjukkan bahwa ini adalah masalah Deret Aritmatika (penjumlahan).
- Suku pertama ($a$) = 1.000.000
- Beda ($b$) = 200.000
- Waktu ($n$) = 10 tahun
Menggunakan rumus jumlah suku ($S_n$):
$$S_{10} = \frac{10}{2}(2(1.000.000) + (10-1)200.000)$$ $$S_{10} = 5(2.000.000 + 9 \times 200.000)$$ $$S_{10} = 5(2.000.000 + 1.800.000)$$ $$S_{10} = 5(3.800.000)$$ $$S_{10} = 19.000.000$$
Total bonus yang diterima setelah 10 tahun adalah Rp 19.000.000.
📚 Referensi
Materi ini disusun berdasarkan prinsip matematika yang terdapat dalam buku teks standar:
1. Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning. (Bab Sequences and Series)
2. Purcell, E. J., & Varberg, D. (1999). Calculus (9th ed.). Prentice Hall.
3. Bartle, R. G., & Sherbert, D. R. (2011). Introduction to Real Analysis. John Wiley & Sons.
