Fungsi Komposisi dan Invers:
Konsep, Rumus, & Aplikasi

Panduan Lengkap untuk Mahasiswa & Siswa SMA

Memahami Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers adalah kunci utama untuk menguasai kalkulus dan aljabar tingkat lanjut. Artikel ini dirancang dengan pendekatan visual dan interaktif untuk membantu Anda memahami bagaimana fungsi digabungkan dan bagaimana cara membalikannya.

Peta Konsep

Komposisi $(f \circ g) (x)$ : Proses berantai. Output dari $g$ menjadi input untuk $f$ .
Invers $f^{- 1} (x)$ : Proses kebalikan. Mencari nilai asal dari hasil yang diketahui.
Invers Komposisi $(f \circ g)^{- 1} (x)$ : Membalikkan urutan proses gabungan.

1. Fungsi Komposisi

Komposisi fungsi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan.

Laboratorium Komposisi

Skenario:
Mesin 1 ( $g$ ): Melipatgandakan input ( $2 x$ ).
Mesin 2 ( $f$ ): Menambahkan 5000 ( $x + 5000$ ).

Masukkan Angka Awal ( $x$ ):

Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap

Tipe 1: Mencari Rumus

(f \circ g) (x)

Soal: Diketahui $f (x) = 3 x + 2$ dan $g (x) = x^{2} - 1$ . Tentukan rumus $(f \circ g) (x)$ .

Pembahasan:

Definisi: $(f \circ g) (x) = f (g (x))$ .

Masukkan $g (x)$ ke dalam setiap $x$ di fungsi $f$ :

f (x^{2} - 1) = 3 (x^{2} - 1) + 2

= 3 x^{2} - 3 + 2

= 3 x^{2} - 1

Jadi, rumus komposisinya adalah $3 x^{2} - 1$ .

Tipe 2: Mencari Fungsi "Dalam"

g (x)

Soal: Diketahui $f (x) = 2 x + 5$ dan $(f \circ g) (x) = 4 x^{2} - 6 x + 7$ . Tentukan rumus $g (x)$ .

Pembahasan:

Diketahui $f (g (x)) = 4 x^{2} - 6 x + 7$ .

Substitusi $g (x)$ ke dalam $f (x)$ :

2 (g (x)) + 5 = 4 x^{2} - 6 x + 7

Pindahkan konstanta 5 ke ruas kanan:

2 (g (x)) = 4 x^{2} - 6 x + 2

Bagi kedua ruas dengan 2:

g (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1

Tipe 3: Mencari Fungsi "Luar"

f (x)

Soal: Diketahui $g (x) = x - 2$ dan $(f \circ g) (x) = 3 x + 1$ . Tentukan rumus $f (x)$ .

Pembahasan:

Diketahui $f (g (x)) = 3 x + 1 \Rightarrow f (x - 2) = 3 x + 1$ .

Kita perlu mengubah $x - 2$ menjadi variabel tunggal. Misalkan $u = x - 2$ , maka $x = u + 2$ .

Ganti semua variabel $x$ di ruas kanan dengan $(u + 2)$ :

f (u) = 3 (u + 2) + 1

f (u) = 3 u + 6 + 1

f (u) = 3 u + 7

Kembalikan $u$ menjadi $x$ untuk hasil akhir: $f (x) = 3 x + 7$ .

2. Fungsi Invers

Invers fungsi adalah operasi yang mengembalikan elemen range ke elemen domainnya. Syarat utama fungsi memiliki invers adalah fungsi tersebut harus Bijektif.

Visualisasi Balik Arah

Fungsi: $y = 3 x + 6$ $⟷$ Invers: $x = \frac{y - 6}{3}$

Geser slider untuk melihat nilai input ( $x$ ) dipetakan dan dikembalikan.

Input (

x

): 0 → Diproses (

3 x + 6

) → Output (

y

): 6

Invers mengembalikan 6 menjadi 0.

Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap

Tipe 1: Invers Fungsi Rasional

Soal: Tentukan invers dari $f (x) = \frac{2 x - 3}{x + 1}, x \neq - 1$ .

Pembahasan:

Ubah $f (x)$ menjadi $y$ , lalu cari $x$ :

y = \frac{2 x - 3}{x + 1}

Kalikan silang: $y (x + 1) = 2 x - 3 \Rightarrow x y + y = 2 x - 3$ .

Kumpulkan suku $x$ : $x y - 2 x = - y - 3$ .

Faktorkan $x$ : $x (y - 2) = - y - 3$ .

Bagi: $x = \frac{- y - 3}{y - 2} = \frac{y + 3}{2 - y}$ .

Ganti $y$ dengan $x$ : $f^{- 1} (x) = \frac{x + 3}{2 - x}, x \neq 2$ .

Tipe 2: Cara Cepat Nilai Invers

Soal: Diketahui $f (x) = 5 x - 7$ . Tentukan $f^{- 1} (13)$ .

Pembahasan:

Kita tidak harus mencari rumus inversnya. Gunakan konsep:

f^{- 1} (y) = x ⟺ f (x) = y

Artinya: "Berapa nilai $x$ agar $f (x)$ hasilnya 13?"

5 x - 7 = 13

5 x = 20 \Rightarrow x = 4

Jadi, $f^{- 1} (13) = 4$ .

3. Invers dari Fungsi Komposisi

Bagaimana jika kita ingin mencari invers dari gabungan dua fungsi? Sifat ini sering disebut sebagai aturan "kaus kaki dan sepatu".

Bayangkan Anda memakai kaus kaki ( $f$ ), lalu memakai sepatu ( $g$ ). Untuk membatalkan proses ini (invers), Anda harus melepas sepatu dulu ( $g^{- 1}$ ), baru kemudian melepas kaus kaki ( $f^{- 1}$ ). Urutannya terbalik.

Sifat Penting:

Invers dari komposisi fungsi $(f \circ g) (x)$ adalah komposisi dari invers-inversnya dalam urutan terbalik:

(f \circ g)^{- 1} (x) = (g^{- 1} \circ f^{- 1}) (x)

Perhatikan bahwa $g$ yang tadinya di belakang, kini inversnya berada di depan.

Contoh Soal dan Pembahasan

Tipe 1: Verifikasi Sifat Invers Komposisi

Soal: Diketahui $f (x) = 2 x$ dan $g (x) = x + 3$ . Tentukan rumus $(f \circ g)^{- 1} (x)$ dengan dua cara.

Pembahasan:

Cara 1: Cari Komposisi Dulu, Lalu Inverskan

Cari $(f \circ g) (x)$ :

(f \circ g) (x) = f (x + 3) = 2 (x + 3) = 2 x + 6

Cari invers dari $y = 2 x + 6$ :

y - 6 = 2 x \Rightarrow x = \frac{y - 6}{2}

Jadi, $(f \circ g)^{- 1} (x) = \frac{x - 6}{2} = \frac{1}{2} x - 3$ .

Cara 2: Gunakan Rumus $(g^{- 1} \circ f^{- 1}) (x)$

Cari invers masing-masing:

$f (x) = 2 x \Rightarrow f^{- 1} (x) = \frac{x}{2}$
$g (x) = x + 3 \Rightarrow g^{- 1} (x) = x - 3$

Komposisikan $g^{- 1}$ ke dalam $f^{- 1}$ (Salah! Rumusnya adalah $g^{- 1}$ komposisi $f^{- 1}$ , artinya $f^{- 1}$ masuk ke $g^{- 1}$ ):

(g^{- 1} \circ f^{- 1}) (x) = g^{- 1} (f^{- 1} (x))

= g^{- 1} (\frac{x}{2})

= \frac{x}{2} - 3

Kesimpulan: Kedua cara menghasilkan jawaban sama: $\frac{1}{2} x - 3$ .

Tipe 2: Mencari Nilai

(g \circ f)^{- 1} (k)

Soal: Diketahui $f (x) = 5 x$ dan $g (x) = 3 - x$ . Tentukan nilai dari $(g \circ f)^{- 1} (13)$ .

Pembahasan:

Kita gunakan konsep: $(g \circ f)^{- 1} (13) = a ⟺ (g \circ f) (a) = 13$ .

Artinya, cari input $a$ yang menghasilkan output 13 setelah masuk $f$ lalu $g$ .

Langkah 1: Tentukan rumus komposisi $(g \circ f) (x)$ .

(g \circ f) (x) = g (5 x) = 3 - 5 x

Langkah 2: Samakan dengan 13.

3 - 5 x = 13

- 5 x = 10

x = - 2

Jadi, $(g \circ f)^{- 1} (13) = - 2$ .

Sumber Referensi

Varberg, D., Purcell, E. J., & Rigdon, S. E. (2011). Calculus (9th ed.). Prentice Hall.
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. (2018). Buku Sekolah Elektronik Matematika Kelas X. Jakarta.
Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.

Glosarium

Istilah	Definisi
Domain	Himpunan daerah asal sebuah fungsi.
Kodomain	Himpunan daerah kawan.
Range	Himpunan daerah hasil (subset dari kodomain).
Komposisi	Operasi substitusi satu fungsi ke fungsi lain.
Invers	Fungsi balikan; memetakan output kembali ke input.
Invers Komposisi	Fungsi kebalikan dari fungsi komposisi, dengan sifat membalik urutan fungsi.

Mini Quiz (Randomized)

Uji pemahaman Anda dengan 5 soal acak berikut ini.

Soal 1/5: Syarat agar fungsi punya invers adalah...

Surjektif

Bijektif (satu-satu)

Injektif

Konstan

Keywords: Fungsi Komposisi, Fungsi Invers, Invers Fungsi Komposisi, Rumus Matematika SMA, Contoh Soal Fungsi, Matematika Kelas 10, Pendidikan Matematika, Kalkulus Dasar, Latihan Soal Matematika, Web Prodi Pendidikan Matematika.