Dalam ranah geometri Euklides, Isometri memegang peranan fundamental sebagai transformasi yang "mengawetkan" metrik. Secara etimologis berasal dari bahasa Yunani iso (sama) dan metron (ukuran). Berbeda dengan transformasi lain seperti dilatasi yang mengubah ukuran, isometri menjamin bahwa jarak antar titik, besar sudut, dan luas bangun datar tetap invarian (tidak berubah).
Pemahaman yang kokoh tentang isometri sangat krusial, tidak hanya bagi mahasiswa matematika murni, tetapi juga dalam aplikasi praktis seperti Computer Vision, Robotika (Kinematika), dan Kristalografi. Artikel ini menyajikan tinjauan matematis yang valid, lengkap dengan pembuktian teorema dan laboratorium visual interaktif.
1. Definisi Formal dan Sifat Analitik
Misalkan $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ adalah sebuah fungsi pemetaan pada bidang. Transformasi $T$ disebut isometri jika dan hanya jika untuk setiap pasang titik $P, Q \in \mathbb{R}^2$:
Definisi di atas menyiratkan sifat injektif dan surjektif, sehingga setiap isometri adalah pemetaan bijektif (korespondensi satu-satu). Sifat-sifat turunan (Teorema Akibat) meliputi:
- Kolineasi: Memetakan garis lurus menjadi garis lurus.
- Konformitas: Mempertahankan besar sudut antar garis.
- Paralelisme: Memetakan garis sejajar menjadi garis sejajar.
Laboratorium Visual Isometri
Simulasi interaktif lengkap: Translasi, Rotasi, Refleksi, dan Refleksi Geser
Vektor Translasi $T = \langle a, b \rangle$
Asli: (0, -60)
Bayangan: (?, ?)
2. Klasifikasi Isometri dan Representasi Matriks
Isometri pada bidang $\mathbb{R}^2$ diklasifikasikan menjadi empat tipe berdasarkan orientasi dan adanya titik tetap (fixed points). Secara umum, persamaan matriks untuk transformasi isometri adalah:
$$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \mathbf{M} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} $$Di mana $\mathbf{M}$ adalah matriks ortogonal ($MM^T = I$).
A. Isometri Langsung (Direct Isometry)
Transformasi yang mempertahankan orientasi (urutan $A \to B \to C$ tetap berlawanan arah jarum jam).
| Jenis | Matriks ($\mathbf{M}$) | Keterangan |
|---|---|---|
| Translasi | $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ | Determinan = +1. Tidak memiliki titik tetap (kecuali vektor geser nol). |
| Rotasi | $\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ | Determinan = +1. Memiliki satu titik tetap (pusat rotasi). |
B. Isometri Lawan (Opposite Isometry)
Transformasi yang membalikkan orientasi (urutan $A \to B \to C$ berubah menjadi searah jarum jam).
| Jenis | Matriks ($\mathbf{M}$) | Keterangan |
|---|---|---|
| Refleksi | Contoh (Sumbu X): $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ | Determinan = -1. Memiliki garis titik tetap (sumbu cermin). |
| Refleksi Geser | Kombinasi Refleksi & Translasi | Tidak memiliki titik tetap. Jejak kaki merupakan garis invarian. |
3. Teorema Fundamental Isometri
Teorema berikut merupakan landasan teoretis yang mengaitkan seluruh jenis isometri dengan konsep refleksi.
"Setiap isometri pada bidang dapat dinyatakan sebagai komposisi dari paling banyak tiga refleksi garis."
Implikasi Teorema:
- Komposisi 2 refleksi dengan garis cermin sejajar menghasilkan Translasi.
- Komposisi 2 refleksi dengan garis cermin berpotongan menghasilkan Rotasi.
- Komposisi 3 refleksi menghasilkan Refleksi Geser (atau refleksi jika ketiga garis konkuren).
Glosarium
- Invarian
- Sifat atau objek geometri yang tidak berubah setelah transformasi diterapkan.
- Isometri Lawan
- Isometri yang mengubah orientasi bangun (misal: urutan titik searah jarum jam menjadi berlawanan).
- Grup Simetri
- Himpunan semua isometri yang memetakan suatu bangun ke dirinya sendiri, membentuk struktur grup aljabar.
- Matriks Ortogonal
- Matriks persegi di mana inversnya sama dengan transposnya ($M^{-1} = M^T$).
Referensi Akademik:
- Coxeter, H. S. M. (1969). Introduction to Geometry. John Wiley & Sons.
- Martin, G. E. (1982). Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry. Springer-Verlag.
- Rawuh. (2020). Geometri Transformasi. Universitas Negeri Jakarta.
