Definisi Formal dan Klasifikasi

PDB Orde Satu adalah persamaan yang memuat satu variabel bebas $x$, satu variabel tak bebas $y$, dan turunan pertamanya $y'$, tanpa memuat turunan yang lebih tinggi.

1. Bentuk Implisit Umum:

$$ F(x, y, y') = 0 $$

2. Bentuk Eksplisit (Bentuk Turunan):

$$ \frac{dy}{dx} = f(x, y) $$

3. Bentuk Diferensial (Penting untuk Metode Eksak):

$$ M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 $$

Teorema:

Diberikan Masalah Nilai Awal (Initial Value Problem/IVP): $$ y' = f(x, y), \quad y(x_0) = y_0 $$

Jika fungsi $f(x, y)$ dan turunan parsialnya $\frac{\partial f}{\partial y}$ kontinu pada suatu daerah persegi panjang $R$ yang memuat titik $(x_0, y_0)$, maka terdapat suatu interval $I$ di sekitar $x_0$ di mana IVP tersebut memiliki tepat satu solusi unik $y(x)$.

A. Variabel Terpisah (Separable)

Ini adalah metode paling intuitif. Jika persamaan dapat dimanipulasi secara aljabar sehingga semua suku $x$ berada bersama $dx$ dan semua suku $y$ bersama $dy$.

Bentuk Umum:

$$ \frac{dy}{dx} = g(x)h(y) $$

Algoritma Penyelesaian:

1. Pisahkan variabel: $\frac{1}{h(y)} dy = g(x) dx$.
2. Integralkan kedua ruas: $\int \frac{1}{h(y)} dy = \int g(x) dx + C$.

B. Persamaan Linear & Faktor Integrasi

Metode ini sangat "powerful" karena memiliki prosedur baku yang pasti berhasil untuk persamaan linear.

Bentuk Standar:

$$ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) $$

Algoritma Penyelesaian:

1. Tentukan $P(x)$ dan cari Faktor Integrasi $\mu(x) = e^{\int P(x)dx}$.
2. Kalikan seluruh persamaan dengan $\mu(x)$. Ruas kiri akan otomatis menjadi turunan dari perkalian: $\frac{d}{dx}[\mu(x)y]$.
3. Integralkan kedua ruas untuk mendapatkan solusi umum: $$ y(x) = \frac{1}{\mu(x)} \left[ \int \mu(x)Q(x) dx + C \right] $$

C. Persamaan Diferensial Eksak

Metode ini memanfaatkan konsep diferensial total $dF(x,y)$.

Bentuk: $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$

Syarat Keeksakan (Teorema Clairaut):

$$ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $$

Jika syarat terpenuhi, solusi adalah kurva tingkat $F(x,y) = C$. Fungsi $F$ dicari dengan mengintegralkan $M$ terhadap $x$ (menghasilkan konstanta fungsi $g(y)$), lalu menurunkannya terhadap $y$ untuk disamakan dengan $N$.

D. Persamaan Homogen (Metode Substitusi)

Sebuah PDB $y' = f(x,y)$ disebut homogen jika fungsinya invarian terhadap penskalaan, artinya $f(tx, ty) = f(x,y)$. Ini sering muncul dalam bentuk rasional $\frac{y}{x}$.

Substitusi: Misalkan $y = vx$, sehingga $y' = v + x\frac{dv}{dx}$.

Langkah ini akan mereduksi persamaan yang rumit menjadi tipe Variabel Terpisah dalam variabel $v$ dan $x$.

E. Persamaan Bernoulli

Ini adalah persamaan non-linear yang istimewa karena dapat dilinearisasi.

Bentuk: $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n$ (dengan $n \neq 0, 1$)

Substitusi:

1. Bagi kedua ruas dengan $y^n$: $y^{-n}y' + P(x)y^{1-n} = Q(x)$.
2. Gunakan substitusi variabel baru $u = y^{1-n}$.
3. Maka turunan $u$ adalah $\frac{du}{dx} = (1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}$.
4. Persamaan akan berubah menjadi Persamaan Linear dalam variabel $u$.