Matematika di Balik Erupsi Semeru

Erupsi Gunung Semeru adalah peristiwa alam yang kompleks. Namun, dengan Kalkulus (Turunan dan Integral), kita dapat memodelkan kecepatan lontaran batu, penyebaran awan panas, hingga total volume material yang dimuntahkan.

I. Analisis Studi Kasus

1. Kapan Batu Pijar Berhenti Naik? (Turunan)

Sebuah material vulkanik dilontarkan vertikal ke atas. Ketinggian material (dalam meter) pada saat $t$ detik dirumuskan dengan fungsi:

$h(t) = 3600 + 100t - 5t^2$

Tentukan: Waktu yang diperlukan material untuk mencapai titik maksimum.

Penyelesaian:

Titik maksimum tercapai saat kecepatan sesaat $v(t)=0$ .

Turunan posisi (Kecepatan):
$v(t) = h'(t) = 100 - 10t$
Syarat stasioner:
$100 - 10t = 0 \Rightarrow t = 10 \text{ det}$

2. Laju Sebaran Awan Panas (Related Rates)

Awan panas menyebar membentuk setengah lingkaran. Radius bertambah dengan laju konstan $dr/dt = 20$ m/detik.
Tentukan: Seberapa cepat luas area ( $A$ ) bertambah saat radius $r=1000$ meter?

Penyelesaian:

Rumus Luas Setengah Lingkaran:
$A = \frac{1}{2}\pi r^2$
Turunkan terhadap waktu $t$ :
$\frac{dA}{dt} = \pi r \left(\frac{dr}{dt}\right)$
Substitusi nilai:
$\frac{dA}{dt} = \pi (1000)(20) = 20.000\pi \text{ m}^2/\text{det}$