Misteri Bilangan: Mengapa Akar Tiga Irasional?

Pengantar: Pernahkah Anda mencoba menuliskan nilai eksak dari akar tiga dalam bentuk desimal? Anda tidak akan pernah selesai. Ini bukan karena kalkulator rusak, tetapi karena sifat dasar bilangan tersebut.

Apa itu Bilangan Rasional?

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan biasa (rasio dua bilangan bulat).

Sifat	Bilangan Rasional	Bilangan Irasional
Bentuk	Dapat ditulis $a per b$	Tidak dapat ditulis pecahan
Contoh	$contoh rasional$	$contoh irasional$

Pembuktian dengan Kontradiksi

Kita asumsikan $akar 3$ rasional, lalu kita buktikan asumsi itu salah.

Langkah 1: Asumsi Awal Andaikan

akar 3

rasional, maka:

akar 3 sama dengan p per q

Syarat mutlak: p dan q adalah bilangan bulat koprima (FPB = 1), artinya pecahan ini sudah paling sederhana.

Langkah 2: Kuadratkan Kedua Sisi Hilangkan akar dengan mengkuadratkan kedua sisi:

p kuadrat = 3q kuadrat

Kesimpulan:

p^2

adalah kelipatan 3, maka p juga harus kelipatan 3.

Langkah 3: Substitusi & Sederhanakan

Karena p kelipatan 3, kita tulis $p=3k$ . Kita masukkan ke persamaan tadi:

Substitusi p:

substitusi

Hasil Kuadrat:

hasil kuadrat

Bagi 3:

hasil akhir

Persamaan $q^2=3k^2$ berarti $q^2$ kelipatan 3, jadi q juga kelipatan 3.

Langkah 4: Kontradiksi (Jalan Buntu) Di awal kita sepakat p dan q tidak punya faktor sama. Namun di akhir, kita membuktikan bahwa p dan q sama-sama bisa dibagi 3.

Ini tidak mungkin terjadi (Kontradiksi). Maka asumsi awal salah dan terbukti bahwa $\sqrt{3}$ adalah bilangan Irasional.

Simulasi Rasional

Coba cari bilangan P dan Q. Jika P/Q dikuadratkan, bisakah hasilnya pas 3?

Nilai P

Nilai Q

Masukkan angka...