NILAI MUTLAK: KONSEP, SIFAT, DAN PENYELESAIAN LENGKAP
Eksplorasi mendalam konsep jarak, pembuktian ketaksamaan segitiga, serta strategi jitu menaklukkan persamaan dan pertidaksamaan mutlak.
Dalam matematika, nilai mutlak sering disalahartikan hanya sebagai "alat untuk mempositifkan angka". Padahal, esensi dari nilai mutlak adalah jarak geometris dari titik asal (nol) tanpa mempedulikan arah. Karena jarak tidak mungkin bernilai negatif, maka hasil dari operasi nilai mutlak selalu non-negatif.
1. Definisi Formal Aljabar
Secara aljabar, untuk setiap bilangan real $x$, nilai mutlak $|x|$ didefinisikan sebagai fungsi piecewise (sepotong-sepotong):
Perhatikan definisi kedua: jika $x < 0$, maka $|x| = -x$. Ini sering membingungkan siswa. Jika $x = -5$, maka $|-5| = -(-5) = 5$. Jadi, tanda negatif pada definisi $-x$ berfungsi untuk "membalik" bilangan negatif menjadi positif.
Hubungan dengan Akar Kuadrat
Definisi lain yang sangat krusial dalam kalkulus dan analisis real adalah hubungan nilai mutlak dengan akar kuadrat utama:
Rumus ini menegaskan bahwa hasil akar pangkat dua ($\sqrt{\dots}$) selalu diambil nilai utamanya yang non-negatif.
2. Visualisasi Interaktif: Konsep Jarak
Gunakan slider di bawah ini. Perhatikan bahwa "Jarak Mutlak" (batang merah) selalu tumbuh positif, baik Anda menggeser $x$ ke arah positif maupun negatif.
Jarak dari 0 ke x adalah: 0
Secara matematis ditulis: $|x|$
3. Sifat-Sifat dan Pembuktian Formal
Memahami sifat nilai mutlak adalah kunci menyelesaikan pertidaksamaan kompleks. Misalkan $a, b \in \mathbb{R}$:
| Sifat | Notasi Matematika |
|---|---|
| Non-negatif | $|a| \geq 0$ |
| Perkalian | $|ab| = |a||b|$ |
| Pembagian | $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}, b \neq 0$ |
| Ketaksamaan Segitiga | $|a + b| \leq |a| + |b|$ |
Pembuktian Ketaksamaan Segitiga (The Triangle Inequality)
Ini adalah teorema fundamental dalam analisis real. Pernyataan: $|a + b| \leq |a| + |b|$.
Bukti Formal:
1. Kita tahu bahwa untuk setiap bilangan real $x$, berlaku sifat: $-|x| \leq x \leq |x|$.
2. Terapkan sifat ini pada $a$ dan $b$:
- $-|a| \leq a \leq |a|$
- $-|b| \leq b \leq |b|$
3. Jumlahkan kedua pertidaksamaan tersebut:
$(-|a| - |b|) \leq a + b \leq (|a| + |b|)$
$-(|a| + |b|) \leq a + b \leq (|a| + |b|)$
4. Mengingat sifat pertidaksamaan nilai mutlak: Jika $|u| \leq c$ maka $-c \leq u \leq c$.
5. Dengan memisalkan $u = a+b$ dan $c = |a|+|b|$, maka dari langkah (3) kita dapat menyimpulkan:
$|a + b| \leq |a| + |b|$
(Terbukti) $\blacksquare$
4. Strategi Penyelesaian dan Contoh Soal
Bagian ini akan membedah cara menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak, mulai dari bentuk linear hingga bentuk yang lebih kompleks.
A. Persamaan Nilai Mutlak
Bentuk dasar: $|f(x)| = c$ dengan $c \geq 0$.
Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari $|2x - 5| = 7$.
Penyelesaian:
Berdasarkan definisi, kita membagi menjadi dua kasus:
-
Kasus Positif: $2x - 5 = 7$
$2x = 12 \Rightarrow x = 6$ -
Kasus Negatif: $2x - 5 = -7$
$2x = -2 \Rightarrow x = -1$
HP: $\{-1, 6\}$
Soal: Tentukan nilai $x$ yang memenuhi $|3x + 1| = |x - 5|$.
Penyelesaian:
Cara paling efisien adalah menggunakan sifat $|a|^2 = a^2$. Kuadratkan kedua ruas:
$(3x + 1)^2 = (x - 5)^2$
$(3x + 1)^2 - (x - 5)^2 = 0$
Gunakan aljabar $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$:
$[(3x+1) + (x-5)] \cdot [(3x+1) - (x-5)] = 0$
$(4x - 4)(2x + 6) = 0$
- $4x - 4 = 0 \Rightarrow x = 1$
- $2x + 6 = 0 \Rightarrow x = -3$
HP: $\{-3, 1\}$
B. Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Kunci penyelesaian pertidaksamaan adalah mengubah bentuk mutlak menjadi interval bilangan.
Teorema: Jika $|f(x)| < a$, maka $-a < f(x) < a$.
Soal: Selesaikan $|2x + 4| < 8$.
Penyelesaian:
$-8 < 2x + 4 < 8$ (Kurangi semua ruas dengan 4)
$-12 < 2x < 4$ (Bagi semua ruas dengan 2)
$-6 < x < 2$
HP: $\{x \mid -6 < x < 2, x \in \mathbb{R}\}$
Teorema: Jika $|f(x)| \ge a$, maka $f(x) \le -a$ atau $f(x) \ge a$.
Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari $|4 - 3x| \ge 5$.
Penyelesaian:
Kita bagi menjadi dua kondisi terpisah:
-
Kondisi 1: $4 - 3x \le -5$
$-3x \le -9$
$x \ge 3$ (Tanda berbalik karena dibagi bilangan negatif) -
Kondisi 2: $4 - 3x \ge 5$
$-3x \ge 1$
$x \le -\frac{1}{3}$
HP: $\{x \mid x \le -\frac{1}{3} \text{ atau } x \ge 3\}$
Soal: Selesaikan $\left| \frac{x + 2}{x - 1} \right| < 2$.
Penyelesaian:
Syarat domain: $x \neq 1$.
Gunakan sifat pembagian $|a/b| = |a|/|b|$ dan kalikan silang (karena penyebut $|x-1|$ pasti positif):
$|x + 2| < 2|x - 1|$
Kuadratkan kedua ruas:
$(x + 2)^2 < 4(x - 1)^2$
$(x^2 + 4x + 4) < 4(x^2 - 2x + 1)$
$x^2 + 4x + 4 < 4x^2 - 8x + 4$
$0 < 3x^2 - 12x$
$3x(x - 4) > 0$
Pembuat nol adalah $x = 0$ dan $x = 4$. Uji garis bilangan:
- Daerah $x < 0$ (misal -1): Positif (+)
- Daerah $0 < x < 4$ (misal 1): Negatif (-)
- Daerah $x > 4$ (misal 5): Positif (+)
Karena diminta $>0$ (positif), maka daerah penyelesaian adalah kiri dan kanan.
HP: $\{x \mid x < 0 \text{ atau } x > 4, x \neq 1\}$
5. Tantangan Pemahaman
Uji konsep yang baru saja Anda pelajari. Soal akan berganti secara acak setiap kali Anda menekan tombol.
Loading Soal...
Glosarium
- Analisis Real
- Cabang matematika yang berurusan dengan himpunan bilangan real dan fungsi bilangan real secara rigor (ketat).
- Fungsi Piecewise
- Fungsi yang didefinisikan oleh beberapa sub-fungsi, masing-masing berlaku untuk interval tertentu dari domain.
- Himpunan Penyelesaian (HP)
- Himpunan semua nilai pengganti variabel yang membuat kalimat terbuka (persamaan/pertidaksamaan) menjadi pernyataan yang benar.
- Titik Asal (Origin)
- Titik 0 pada garis bilangan real.
Sumber Referensi
- Bartle, R. G., & Sherbert, D. R. (2011). Introduction to Real Analysis (4th ed.). John Wiley & Sons.
- Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2010). Calculus (9th ed.). Prentice Hall.
- Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. (2017). Matematika SMA/MA Kelas X. Jakarta: Kemendikbud.
