Panduan Lengkap Barisan Geometri: Rumus, Contoh Soal, dan Bunga Majemuk

Berbeda dengan barisan aritmatika yang polanya adalah "penjumlahan konstan", barisan geometri (atau barisan ukur) adalah barisan bilangan di mana rasio antara dua suku yang berurutan selalu konstan. Rasio konstan ini disebut "rasio" (r). Ini adalah fondasi dari pertumbuhan eksponensial, dan aplikasi dunia nyata yang paling umum adalah bunga majemuk.

Bagaimana Menemukan Rumus Barisan Geometri?

Mari kita temukan polanya. Misalkan kita punya barisan: 5, 10, 20, 40, ...

• Suku pertama (U₁ atau a) = 5
• Rasio (r) = 10 / 5 = 2

Perhatikan polanya:

• Suku ke-2 (U₂) = 5 × 2 = a × r¹
• Suku ke-3 (U₃) = 5 × 2 × 2 = a × r²
• Suku ke-4 (U₄) = 5 × 2 × 2 × 2 = a × r³

Kita bisa melihat bahwa untuk mendapatkan suku ke-n (Uₙ), kita mengambil suku pertama (a) dan mengalikannya dengan rasio (r) sebanyak (n - 1) kali.

Rumus Suku ke-n (Uₙ)

Uₙ = a ⋅ r ⁿ⁻¹

Rumus Jumlah n Suku Pertama (Sₙ)

Untuk menjumlahkan n suku pertama (deret geometri):

Sₙ = a(1 - rⁿ) / (1 - r) (jika r < 1) atau Sₙ = a(rⁿ - 1) / (r - 1) (jika r > 1)

Contoh Soal dan Penyelesaian

Contoh 1: Menemukan Suku ke-n

Diketahui barisan: 5, 10, 20, 40, ... Tentukan suku ke-8 (U₈)!

• Suku pertama (a) = 5
• Rasio (r) = 10 / 5 = 2
• Yang dicari (n) = 8
• U₈ = a ⋅ r ⁿ⁻¹ = 5 × 2 ⁸⁻¹ = 5 × 2⁷ = 5 × 128 = 640.

Contoh 2: Menemukan Rasio dan Suku Pertama

Suku ke-2 (U₂) barisan geometri adalah 10, dan Suku ke-5 (U₅) adalah 80. Tentukan suku pertama (a)!

1. Tulis rumus untuk kedua suku:
   U₅ = a ⋅ r⁴ = 80
   U₂ = a ⋅ r¹ = 10
2. Gunakan pembagian untuk menemukan r:
   (a ⋅ r⁴) / (a ⋅ r¹) = 80 / 10
   r³ = 8
   r = 2
3. Substitusikan r = 2 ke persamaan kedua:
   a ⋅ (2)¹ = 10
   a = 5
4. Jadi, suku pertamanya adalah 5.

Latihan Interaktif

Gunakan applet GeoGebra berikut untuk berlatih soal barisan geometri. Masukkan suku pertama (U₁), rasio (r), dan n untuk melihat suku ke-n dan jumlah deretnya.

Koneksi Dunia Nyata: Bunga Majemuk

Tidak seperti bunga tunggal (yang merupakan barisan aritmatika), bunga majemuk dihitung berdasarkan modal awal ditambah bunga yang telah terakumulasi dari periode sebelumnya. Bunga "berbunga" lagi.

Pertumbuhan yang mengalikan dirinya sendiri inilah yang menciptakan barisan geometri:

• Modal Awal (Suku ke-1): M₀
• Total Uang setelah 1 tahun (Suku ke-2): M₁ = M₀ + (M₀ × i) = M₀(1 + i)¹
• Total Uang setelah 2 tahun (Suku ke-3): M₂ = M₁(1 + i) = [M₀(1 + i)](1 + i) = M₀(1 + i)²
• Total Uang setelah t tahun (Suku ke-t+1): Mₜ = M₀(1 + i)ᵗ

Ini adalah barisan geometri di mana:
Suku Pertama (a) = M₀ (Modal awal)
Rasio (r) = (1 + i) (1 + suku bunga)

Contoh Detail:
Budi menabung Rp 1.000.000 di bank dengan bunga majemuk 10% per tahun. Berapa total uangnya setelah 3 tahun?

• Suku Pertama (a) = 1.000.000
• Rasio (r) = 1 + 0.10 = 1.1
• Kita mencari nilai setelah 3 tahun, yang merupakan Suku ke-4 (U₄) dari barisan (Tahun 0 = U₁, Tahun 1 = U₂, ...). Jadi, n = 4.
• U₄ = a ⋅ r ⁿ⁻¹ = 1.000.000 × (1.1)⁴⁻¹ = 1.000.000 × (1.1)³
• U₄ = 1.000.000 × 1.331 = Rp 1.331.000.