Persamaan Elips Lengkap:
Konsep, Rumus, dan Garis Singgung

Panduan Komprehensif Geometri Analitik untuk Mahasiswa & Umum

Elips bukan sekadar "lingkaran yang dipipihkan". Dalam khazanah matematika murni, fisika, dan teknik, elips adalah salah satu dari irisan kerucut (conic sections) yang memiliki karakteristik geometris dan aljabar yang unik. Pemahaman yang mendalam mengenai persamaan elips menjadi fondasi tak tergantikan dalam memahami Kalkulus Multivariabel, Hukum Kepler dalam mekanika benda langit, hingga perancangan struktur jembatan lengkung dan reflektor akustik.

Artikel ini disusun secara sistematis untuk membahas tuntas topik elips, mulai dari definisi formal berdasarkan tempat kedudukan titik, derivasi rumus baku, analisis unsur-unsur mendalam (seperti latus rectum dan eksentrisitas), hingga teknik penyelesaian persamaan garis singgung yang sering menjadi tantangan dalam ujian.

1. Definisi Geometris dan Analitis

Definisi Locus (Tempat Kedudukan): Elips adalah himpunan semua titik $P (x, y)$ pada sebuah bidang datar sedemikian rupa sehingga jumlah jarak titik tersebut terhadap dua titik tertentu yang tetap (disebut Fokus) adalah konstan.

Nilai konstan penjumlahan jarak tersebut ekuivalen dengan panjang sumbu mayor ( $2 a$ ).

Secara matematis, jika kita menetapkan dua titik fokus di koordinat $F_{1} (- c, 0)$ dan $F_{2} (c, 0)$ , maka persamaan jaraknya adalah:

\sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} + \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} = 2 a

Persamaan di atas tampak rumit karena mengandung dua bentuk akar. Melalui proses aljabar (memindahkan satu akar ke ruas kanan, menguadratkan kedua ruas, menyederhanakan, dan menguadratkan kembali), kita akan mendapatkan Persamaan Baku Elips yang elegan:

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

Di mana berlaku hubungan fundamental Phytagoras:

a^{2} = b^{2} + c^{2}

(Ingat: Pada elips, $a$ adalah sisi terpanjang/hipotenusa dalam segitiga bantu fokus).

2. Anatomi Elips: Unsur-Unsur Lengkap

Sebuah elips didefinisikan secara lengkap oleh parameter-parameter geometrisnya. Tabel berikut merinci unsur-unsur elips horizontal dengan pusat $(h, k)$ :

Istilah	Simbol/Rumus	Penjelasan Detail
Sumbu Mayor	$2 a$	Garis terpanjang yang membelah elips menjadi dua bagian simetris, melalui kedua titik fokus dan pusat.
Sumbu Minor	$2 b$	Garis terpendek yang membelah elips, tegak lurus terhadap sumbu mayor tepat di titik pusat.
Titik Fokus	$F (\pm c, 0)$	Dua titik kunci yang menentukan bentuk elips. Jarak dari pusat ke setiap fokus adalah $c$ . Nilai $c$ didapat dari $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ .
Eksentrisitas	$e = \frac{c}{a}$	Parameter yang mengukur "kelonjongan" elips. Nilainya selalu $0 < e < 1$ . Semakin mendekati 0, bentuknya makin bulat (lingkaran). Semakin mendekati 1, bentuknya makin pipih.
Latus Rectum	$\| L R \| = \frac{2 b^{2}}{a}$	Tali busur (chord) yang melewati titik fokus dan tegak lurus terhadap sumbu mayor. Berguna untuk menggambar sketsa elips dengan lebih akurat.
Direstriks	$x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{a^{2}}{c}$	Garis arah atau garis tetap yang berada di luar elips. Rasio jarak titik pada elips ke fokus dengan jaraknya ke direstriks selalu bernilai konstan ( $e$ ).

3. Eksplorasi Interaktif: Visualisasi Unsur Elips

Untuk memahami konsep abstrak di atas, gunakan simulasi berikut. Geser slider untuk mengubah panjang sumbu. Perhatikan pergeseran Fokus (Titik Merah), perubahan panjang Latus Rectum (Garis Hijau), dan posisi Direstriks (Garis Biru Putus-putus).

Sumbu Horizontal (a): 140

Sumbu Vertikal (b): 90

Bentuk: Horizontal (Mendatar)
• Fokus (c): 107.2 satuan dari pusat.
• Eksentrisitas (e): 0.766 (0 < e < 1).
• Panjang Latus Rectum: 115.7 satuan.
• Jarak Pusat ke Direstriks: 182.8 satuan.

4. Rumus Lengkap Berdasarkan Orientasi

Penting untuk mengidentifikasi apakah elips memanjang secara horizontal atau vertikal sebelum menerapkan rumus. Kuncinya terletak pada nilai penyebut ( $a^{2}$ dan $b^{2}$ ). Penyebut yang lebih besar menandakan sumbu mayor.

A. Elips Horizontal (Sumbu Mayor // Sumbu X)

Ciri utama: Angka penyebut di bawah variabel $x$ lebih besar daripada di bawah variabel $y$ ( $a > b$ ).

Persamaan Baku (Pusat $h, k$ ): $\frac{(x - h)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1$
Puncak Mayor (Vertices): $(h \pm a, k)$
Puncak Minor (Co-vertices): $(h, k \pm b)$
Fokus: $(h \pm c, k)$ di mana $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$
Direstriks: $x = h \pm \frac{a^{2}}{c}$

B. Elips Vertikal (Sumbu Mayor // Sumbu Y)

Ciri utama: Angka penyebut di bawah variabel $y$ lebih besar daripada di bawah variabel $x$ . Pada kasus ini, sumbu $y$ dominan.

Persamaan Baku: $\frac{(x - h)^{2}}{b^{2}} + \frac{(y - k)^{2}}{a^{2}} = 1$
*(Catatan: Beberapa literatur menukar simbol a dan b, namun prinsipnya tetap: Sumbu mayor adalah penyebut terbesar)*.
Puncak Mayor (Vertices): $(h, k \pm a)$ (Koordinat berubah pada sumbu Y)
Fokus: $(h, k \pm c)$ di mana $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ (Selisih penyebut besar dikurangi kecil).
Direstriks: $y = k \pm \frac{a^{2}}{c}$

5. Transformasi Bentuk Umum ke Bentuk Baku

Seringkali dalam soal, persamaan elips disajikan dalam bentuk polinomial panjang:

A x^{2} + B y^{2} + D x + E y + F = 0

Syarat agar persamaan ini membentuk elips adalah $A$ dan $B$ memiliki tanda yang sama (sama-sama positif atau negatif) tetapi nilainya tidak sama ( $A \neq B$ ). Jika $A = B$ , itu adalah lingkaran. Gunakan teknik Melengkapkan Kuadrat Sempurna untuk menyelesaikannya.

Contoh Langkah Demi Langkah:

Soal: Tentukan pusat dan jari-jari (sumbu) dari $4 x^{2} + 9 y^{2} - 16 x + 18 y - 11 = 0$ .

Kelompokkan Variabel:
$(4 x^{2} - 16 x) + (9 y^{2} + 18 y) = 11$
Faktorkan Koefisien Utama ( $x^{2}$ dan $y^{2}$ ):
$4 (x^{2} - 4 x) + 9 (y^{2} + 2 y) = 11$
Lengkapi Kuadrat (Langkah Kritis):
Tambahkan $(\frac{1}{2} \cdot koef x)^{2}$ ke dalam kurung.
$x^{2} - 4 x \to$ tambah $(- 2)^{2} = 4$ .
$y^{2} + 2 y \to$ tambah $(1)^{2} = 1$ .
Ingat: Penambahan di ruas kiri harus diimbangi di ruas kanan dengan dikalikan faktor depannya.
$4 (x^{2} - 4 x + 4) + 9 (y^{2} + 2 y + 1) = 11 + (4 \cdot 4) + (9 \cdot 1)$
$4 (x - 2)^{2} + 9 (y + 1)^{2} = 11 + 16 + 9 = 36$
Bagi Kedua Ruas dengan Hasil Kanan (36):
$\frac{4 (x - 2)^{2}}{36} + \frac{9 (y + 1)^{2}}{36} = 1$
$\frac{(x - 2)^{2}}{9} + \frac{(y + 1)^{2}}{4} = 1$

Hasil: Elips horizontal dengan Pusat $(2, - 1)$ , $a^{2} = 9 \Rightarrow a = 3$ , dan $b^{2} = 4 \Rightarrow b = 2$ .

6. Persamaan Garis Singgung (PGS) Elips

Menentukan garis lurus yang menyinggung kurva elips adalah materi esensial dalam kalkulus. Terdapat dua kondisi utama:

A. PGS Melalui Titik $(x_{1}, y_{1})$ pada Elips

Jika titik uji sudah dipastikan terletak pada kurva, gunakan aturan "Bagi Adil" (Splitting Method):

\frac{(x_{1} - h) (x - h)}{a^{2}} + \frac{(y_{1} - k) (y - k)}{b^{2}} = 1

Contoh Soal 1:

Tentukan persamaan garis singgung elips $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ di titik $P (2, \sqrt{3})$ .

Penyelesaian:

Cek Kedudukan Titik: Substitusi $(2, \sqrt{3})$ ke persamaan.
$\frac{2^{2}}{16} + \frac{(\sqrt{3})^{2}}{4} = \frac{4}{16} + \frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$ . (Titik VALID pada kurva).
Terapkan Rumus Bagi Adil:
$\frac{x_{1} \cdot x}{16} + \frac{y_{1} \cdot y}{4} = 1$
$\frac{2 x}{16} + \frac{\sqrt{3} y}{4} = 1$
Sederhanakan: Kalikan kedua ruas dengan 16 (KPK penyebut).
$2 x + 4 \sqrt{3} y = 16$
$x + 2 \sqrt{3} y - 8 = 0$ (Bentuk implisit)

B. PGS dengan Gradien $m$ Diketahui

Jika kita ingin mencari garis singgung yang sejajar atau tegak lurus dengan garis lain, kita menggunakan rumus gradien:

y - k = m (x - h) \pm \sqrt{a^{2} m^{2} + b^{2}}

*Catatan: Pastikan $a^{2}$ adalah penyebut di bawah variabel x, dan $b^{2}$ di bawah variabel y dalam rumus ini.

Contoh Soal 2:

Tentukan persamaan garis singgung elips $\frac{(x - 1)^{2}}{25} + \frac{(y + 2)^{2}}{9} = 1$ yang sejajar garis $y = 2 x + 5$ .

Penyelesaian:

Analisis Data:
Pusat $(h, k) = (1, - 2)$ .
$a^{2} = 25$ (Horizontal), $b^{2} = 9$ .
Gradien ( $m$ ): Karena sejajar $y = 2 x + 5$ , maka $m = 2$ .
Substitusi ke Rumus:
$y - (- 2) = 2 (x - 1) \pm \sqrt{25 \cdot (2)^{2} + 9}$
$y + 2 = 2 x - 2 \pm \sqrt{25 \cdot 4 + 9}$
$y + 2 = 2 x - 2 \pm \sqrt{100 + 9}$
$y = 2 x - 4 \pm \sqrt{109}$
Kesimpulan: Terdapat dua garis singgung:
Garis 1: $y = 2 x - 4 + \sqrt{109}$
Garis 2: $y = 2 x - 4 - \sqrt{109}$

7. Persamaan Parametrik

Dalam aplikasi fisika (seperti osilasi harmonik atau orbit), elips sering dinyatakan dalam fungsi waktu atau sudut menggunakan trigonometri:

x = h + a \cos θ

y = k + b \sin θ

Di mana parameter $θ$ berada dalam rentang $0 \leq θ \leq 2 π$ . Dengan mensubstitusi persamaan ini ke identitas trigonometri $\cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1$ , kita akan kembali mendapatkan persamaan baku elips.

Glosarium Istilah

Conic Section (Irisan Kerucut): Kurva yang terbentuk akibat perpotongan bidang datar dengan kerucut ganda (lingkaran, elips, parabola, hiperbola).
Focal Radii: Segmen garis yang menghubungkan sembarang titik pada elips ke salah satu titik fokus.
Aphelion/Perihelion: Istilah astronomi untuk titik terjauh/terdekat pada orbit elips planet terhadap matahari (verteks mayor).
Ordinat: Nilai pada sumbu vertikal (Y).
Absis: Nilai pada sumbu horizontal (X).

Referensi Akademik:

Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2010). Calculus 9th Edition. Prentice Hall. (Bab: Irisan Kerucut).
Anton, H., & Rorres, C. (2014). Elementary Linear Algebra with Applications. Wiley.
Larson, R. (2018). Precalculus with Limits. Cengage Learning.

Keywords: persamaan elips lengkap, rumus elips pusat (h,k), contoh soal persamaan garis singgung elips, latus rectum, titik fokus elips, geometri analitik, irisan kerucut, soal dan pembahasan elips, eksentrisitas, aplikasi elips, matematika peminatan SMA.

Persamaan Elips Lengkap: Definisi, Rumus, PGS, dan Aplikasi

Persamaan Elips Lengkap: Definisi, Rumus, PGS, dan Aplikasi

Persamaan Elips Lengkap:
Konsep, Rumus, dan Garis Singgung

1. Definisi Geometris dan Analitis

2. Anatomi Elips: Unsur-Unsur Lengkap

3. Eksplorasi Interaktif: Visualisasi Unsur Elips

4. Rumus Lengkap Berdasarkan Orientasi

A. Elips Horizontal (Sumbu Mayor // Sumbu X)

B. Elips Vertikal (Sumbu Mayor // Sumbu Y)

5. Transformasi Bentuk Umum ke Bentuk Baku

Contoh Langkah Demi Langkah:

6. Persamaan Garis Singgung (PGS) Elips

A. PGS Melalui Titik $(x_{1}, y_{1})$ pada Elips

Contoh Soal 1:

B. PGS dengan Gradien $m$ Diketahui

Contoh Soal 2:

7. Persamaan Parametrik

Glosarium Istilah

Referensi Akademik:

kategori

artikel terkini

Important Sites

Visitor Counter

Address

Persamaan Elips Lengkap: Definisi, Rumus, PGS, dan Aplikasi

Persamaan Elips Lengkap: Definisi, Rumus, PGS, dan Aplikasi

berita terkait

1. Definisi Geometris dan Analitis

2. Anatomi Elips: Unsur-Unsur Lengkap

3. Eksplorasi Interaktif: Visualisasi Unsur Elips

4. Rumus Lengkap Berdasarkan Orientasi

A. Elips Horizontal (Sumbu Mayor // Sumbu X)

B. Elips Vertikal (Sumbu Mayor // Sumbu Y)

5. Transformasi Bentuk Umum ke Bentuk Baku

Contoh Langkah Demi Langkah:

6. Persamaan Garis Singgung (PGS) Elips

A. PGS Melalui Titik (x1,y1) pada Elips

Contoh Soal 1:

B. PGS dengan Gradien m Diketahui

Contoh Soal 2:

7. Persamaan Parametrik

Glosarium Istilah

Referensi Akademik:

kategori

artikel terkini

Important Sites

Visitor Counter

Address

A. PGS Melalui Titik $(x_{1}, y_{1})$ pada Elips

B. PGS dengan Gradien $m$ Diketahui