Rumus Volume Tabung dan Luas Permukaan Lengkap: Matematika untuk Efisiensi & Keberlanjutan (SDGs)

Oleh: Tim Prodi S1 Pendidikan Matematika ‐ Universitas Negeri Surabaya (Unesa)

Tabung atau dalam bahasa Inggris disebut cylinder bukan sekadar bentuk dasar dalam geometri Euclidean; ia adalah tulang punggung infrastruktur modern. Dari sistem pipanisasi air bersih hingga desain baterai kendaraan listrik, efisiensi bentuk tabung memainkan peran vital. Artikel ini akan membedah anatomi tabung secara mendalam, mulai dari penurunan rumus berbasis kalkulus hingga visualisasi interaktif jaring-jaringnya, serta relevansinya terhadap Sustainable Development Goals (SDGs).

1. Visualisasi & Anatomi Tabung 3D

Tabung dibentuk oleh dua lingkaran identik yang sejajar dan sebuah selimut persegi panjang. Model di bawah ini bersifat interaktif.

Klik & Geser untuk Memutar

2. Bedah Luas Permukaan (Jaring-Jaring)

Lihat transformasi tabung dari bentuk 3D menjadi jaring-jaring datar. Geser slider perlahan untuk melihat proses pemotongannya.

3D (Tutup) Proses Membuka 2D (Datar)

Posisi: Tabung Utuh (3D)

Kesimpulan Rumus:

                Ltotal=Ltutup+Lalas+Lselimut
                Ltotal=πr2+πr2+(Keliling×t)
                Ltotal=2πr2+(2πr×t)=2πr(r+t)
            

3. Tinjauan Matematis Tingkat Lanjut (Kalkulus)

Bagi mahasiswa S1 Pendidikan Matematika, memahami asal-usul rumus adalah keharusan. Volume tabung dapat dibuktikan menggunakan konsep integral tentu dengan metode cakram (disk method).

Misalkan kita memiliki fungsi konstan $f (x) = r$ yang diputar terhadap sumbu- $x$ dari batas $a = 0$ hingga $b = t$ .

V = \int_{a}^{b} A (x) d x

Di mana $A (x)$ adalah luas penampang melintang (lingkaran):

V = \int_{0}^{t} π (f (x))^{2} d x

V = \int_{0}^{t} π r^{2} d x

Karena $π$ dan $r$ adalah konstanta:

V = π r^{2} \int_{0}^{t} 1 d x

V = π r^{2} [x]_{0}^{t}

V = π r^{2} (t - 0) = π r^{2} t

Pembuktian ini memvalidasi bahwa volume prisma tegak (termasuk tabung) adalah Luas Alas dikali Tinggi.

SDGs Relevansi Tabung dalam Pembangunan Berkelanjutan

Goal 6: Clean Water and Sanitation

Kasus: Desain Pipa dan Tandon Air.

Mengapa pipa air berbentuk tabung? Secara matematis, lingkaran memiliki rasio Luas:Keliling terbesar dibandingkan bentuk lain (seperti persegi). Artinya, pipa silindris mengalirkan volume air maksimum ( $V$ ) dengan gesekan permukaan minimum (terkait lateral surface). Hal ini penting untuk efisiensi distribusi air.

Dampak: Efisiensi ini mengurangi energi pompa dan kebocoran, mendukung akses air bersih yang terjangkau bagi masyarakat.

Goal 12: Responsible Consumption and Production

Kasus: Optimasi Kemasan Industri.

Industri makanan berupaya meminimalkan bahan kemasan (biaya & limbah) untuk volume isi tertentu. Masalah: "Minimumkan $L_{p e r m u k a a n}$ dengan kendala $V = k$ ."

Dengan turunan parsial, dapat dibuktikan bahwa kaleng tabung paling efisien materialnya adalah ketika $h = 2 r$ (diameter = tinggi). Pengetahuan ini membantu insinyur mengurangi limbah logam global.

Kalkulator Tabung & Efisiensi

Jari-jari (

r

) cm:

Tinggi (

t

) cm:

Glosarium Istilah

Disk Method (Metode Cakram): Teknik dalam kalkulus integral untuk menghitung volume benda putar dengan mengirisnya menjadi kepingan-kepingan lingkaran tipis.
Optimasi: Proses matematis untuk menemukan nilai terbaik (minimum atau maksimum) dari suatu fungsi, sangat vital dalam SDG 12.
Lateral Surface (Sisi Lengkung): Bidang yang menghubungkan alas dan tutup tabung.