Logaritma sering kali dianggap sebagai momok dalam matematika sekolah, padahal konsep ini adalah fondasi dari berbagai fenomena alam dan teknologi. Mulai dari penghitungan bunga majemuk di bank, skala Richter gempa bumi, hingga algoritma pencarian data di komputer.
Artikel ini tidak hanya menyajikan rumus hafalan. Sebagai materi tingkat pendidikan matematika, kita akan membedah mengapa sifat-sifat tersebut berlaku melalui pembuktian deduktif. Pemahaman konsep ini jauh lebih penting daripada sekadar menghafal.
1. Definisi Logaritma: Invers dari Eksponen
Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan (invers) dari eksponen atau pemangkatan.
- Basis (
) harus positif ( ) dan tidak boleh sama dengan 1 ( ). - Numerus (
) harus positif ( ). - Hasil (
) adalah anggota bilangan real.
Visualisasi Interaktif: Cermin Eksponen
Grafik logaritma adalah pencerminan grafik eksponen terhadap garis
2. Sifat-Sifat Logaritma & Pembuktiannya (Lengkap)
Inilah inti dari materi logaritma. Berikut adalah penjabaran sifat-sifat logaritma disertai pembuktian (asal-usul) mengapa rumus tersebut valid.
Simulasi Penghitung Logaritma
Gunakan alat ini untuk memverifikasi perhitungan manual Anda.
3. Contoh Soal Tingkat Lanjut & Pembahasan
Kasus 1: Manipulasi Aljabar Logaritma
Soal: Jika
Langkah 1: Uraikan numerus menjadi faktor-faktor prima yang diketahui (3 dan 5).
Langkah 2: Gunakan sifat perkalian dan pangkat logaritma.
Langkah 3: Substitusi nilai
Kasus 2: Persamaan Logaritma
Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari
Langkah 1: Karena basisnya sama (basis 2), samakan numerusnya.
Langkah 2: Faktorkan persamaan kuadrat.
Langkah 3: Uji Syarat Numerus (Numerus harus > 0).
- Untuk
:- Numerus 1:
(Valid) - Numerus 2:
(Valid)
- Numerus 1:
- Untuk
:- Numerus 1:
(Valid) - Numerus 2:
(Valid)
- Numerus 1:
Kesimpulan: Himpunan penyelesaiannya adalah
Glosarium Istilah Logaritma
Bilangan yang menjadi dasar perpangkatan. Dalam notasi
Bilangan yang akan dicari nilai logaritmanya. Dalam
Logaritma dengan basis konstanta Euler
Jika basis tidak ditulis (misal:
Daftar Pustaka & Referensi
- Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals (8th Edition). Cengage Learning. (Bab: Inverse Functions).
- Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2010). Calculus (9th Edition). Pearson Education.
- Anton, H., Bivens, I., & Davis, S. (2012). Calculus Early Transcendentals (10th Edition). Wiley.

