Sifat Sifat Logaritma Lengkap: Rumus, Contoh Soal, dan Pembuktiannya

Panduan Mendalam Matematika Pendidikan untuk Memahami Asal-Usul Logaritma

Logaritma sering kali dianggap sebagai momok dalam matematika sekolah, padahal konsep ini adalah fondasi dari berbagai fenomena alam dan teknologi. Mulai dari penghitungan bunga majemuk di bank, skala Richter gempa bumi, hingga algoritma pencarian data di komputer.

Artikel ini tidak hanya menyajikan rumus hafalan. Sebagai materi tingkat pendidikan matematika, kita akan membedah mengapa sifat-sifat tersebut berlaku melalui pembuktian deduktif. Pemahaman konsep ini jauh lebih penting daripada sekadar menghafal.

1. Definisi Logaritma: Invers dari Eksponen

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan (invers) dari eksponen atau pemangkatan.

$^{a} \log b = c ⟺ a^{c} = b$

Syarat Mutlak:

Basis ( $a$ ) harus positif ( $a > 0$ ) dan tidak boleh sama dengan 1 ( $a \neq 1$ ).
Numerus ( $b$ ) harus positif ( $b > 0$ ).
Hasil ( $c$ ) adalah anggota bilangan real.

Visualisasi Interaktif: Cermin Eksponen

Grafik logaritma adalah pencerminan grafik eksponen terhadap garis $y = x$ . Buktikan dengan menggeser slider basis di bawah ini.

Basis (

a

): 2

2. Sifat-Sifat Logaritma & Pembuktiannya (Lengkap)

Inilah inti dari materi logaritma. Berikut adalah penjabaran sifat-sifat logaritma disertai pembuktian (asal-usul) mengapa rumus tersebut valid.

Sifat 1: Logaritma Dasar

^{a} \log 1 = 0 dan^{a} \log a = 1

Pembuktian (Asal-usul):
Berdasarkan definisi eksponen:

Setiap bilangan $a$ (dimana $a \neq 0$ ) jika dipangkatkan 0 hasilnya adalah 1 ( $a^{0} = 1$ ). Maka, bentuk logaritmanya adalah $^{a} \log 1 = 0$ .
Setiap bilangan $a$ jika dipangkatkan 1 hasilnya adalah bilangan itu sendiri ( $a^{1} = a$ ). Maka, bentuk logaritmanya adalah $^{a} \log a = 1$ .

Sifat 2: Logaritma Perkalian (Penjumlahan)

^{a} \log (b \cdot c) =^{a} \log b +^{a} \log c

Pembuktian (Asal-usul):
Misalkan

^{a} \log b = x

dan

^{a} \log c = y

.
Berdasarkan definisi, ini berarti

b = a^{x}

dan

c = a^{y}

.

Kalikan kedua bilangan:

b \cdot c = a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}

Kembalikan ke bentuk logaritma:

^{a} \log (b \cdot c) = x + y

Substitusi kembali nilai

x

dan

y

^{a} \log (b \cdot c) =^{a} \log b +^{a} \log c (Terbukti)

Sifat 3: Logaritma Pembagian (Pengurangan)

^{a} \log (\frac{b}{c}) =^{a} \log b -^{a} \log c

Pembuktian (Asal-usul):
Misalkan

^{a} \log b = x \Rightarrow b = a^{x}

dan

^{a} \log c = y \Rightarrow c = a^{y}

.
Bagikan kedua bilangan:

\frac{b}{c} = \frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x - y}

Kembalikan ke bentuk logaritma:

^{a} \log (\frac{b}{c}) = x - y

^{a} \log (\frac{b}{c}) =^{a} \log b -^{a} \log c (Terbukti)

Sifat 4: Pangkat Numerus

^{a} \log b^{n} = n \cdot^{a} \log b

Pembuktian (Asal-usul):
Misalkan

^{a} \log b = x

, maka

b = a^{x}

.
Pangkatkan kedua ruas dengan

n

b^{n} = (a^{x})^{n} = a^{n x}

Ubah ke bentuk logaritma:

^{a} \log (b^{n}) = n x

^{a} \log (b^{n}) = n \cdot (^{a} \log b) (Terbukti)

Sifat 5: Perubahan Basis

^{a} \log b = \frac{^{p} \log b}{^{p} \log a} (dengan p > 0, p \neq 1)

Pembuktian (Asal-usul):
Misalkan

^{a} \log b = x

, maka

a^{x} = b

.
Tarik logaritma basis

p

pada kedua ruas:

^{p} \log (a^{x}) =^{p} \log b

Gunakan sifat pangkat numerus (Sifat 4):

x \cdot^{p} \log a =^{p} \log b

x = \frac{^{p} \log b}{^{p} \log a}

Substitusi

x

^{a} \log b = \frac{^{p} \log b}{^{p} \log a} (Terbukti)

Sifat 6: Balikan (Resiprokal) Basis

^{a} \log b = \frac{1}{^{b} \log a}

Pembuktian (Asal-usul):
Menggunakan Sifat 5 (Perubahan Basis), pilih basis baru

p = b

^{a} \log b = \frac{^{b} \log b}{^{b} \log a}

Karena

^{b} \log b = 1

(Sifat 1), maka:

^{a} \log b = \frac{1}{^{b} \log a} (Terbukti)

Sifat 7: Aturan Rantai (Perkalian Logaritma)

^{a} \log b \cdot^{b} \log c =^{a} \log c

Pembuktian (Asal-usul):
Ubah setiap logaritma ke basis umum

p

menggunakan Sifat 5:

^{a} \log b \cdot^{b} \log c = \frac{^{p} \log b}{^{p} \log a} \cdot \frac{^{p} \log c}{^{p} \log b}

Kita bisa mencoret

^{p} \log b

di pembilang dan penyebut:

= \frac{^{p} \log c}{^{p} \log a}

Kembalikan ke bentuk basis tunggal (invers Sifat 5):

=^{a} \log c (Terbukti)

Sifat 8: Pangkat Basis dan Numerus

^{a^{m}} \log b^{n} = \frac{n}{m} \cdot^{a} \log b

Pembuktian (Asal-usul):
Ubah ke basis

a

menggunakan Sifat 5:

^{a^{m}} \log b^{n} = \frac{^{a} \log b^{n}}{^{a} \log a^{m}}

Gunakan Sifat 4 (Pangkat Numerus):

= \frac{n \cdot^{a} \log b}{m \cdot^{a} \log a}

Karena

^{a} \log a = 1

, maka:

= \frac{n}{m} \cdot^{a} \log b (Terbukti)

Sifat 9: Perpangkatan Logaritma

a^{^{a} \log b} = b

Pembuktian (Asal-usul):
Misalkan

^{a} \log b = x

.
Maka secara definisi:

a^{x} = b

.
Substitusi

x

kembali dengan

^{a} \log b

a^{^{a} \log b} = b (Terbukti)

Simulasi Penghitung Logaritma

Gunakan alat ini untuk memverifikasi perhitungan manual Anda.

Basis (

a

)

log

Numerus (

b

)

Hasil (

c

)

3. Contoh Soal Tingkat Lanjut & Pembahasan

Kasus 1: Manipulasi Aljabar Logaritma

Soal: Jika $^{2} \log 3 = p$ dan $^{2} \log 5 = q$ , nyatakan $^{2} \log 45 \sqrt{15}$ dalam bentuk $p$ dan $q$ .

Pembahasan Lengkap:

Langkah 1: Uraikan numerus menjadi faktor-faktor prima yang diketahui (3 dan 5).

45 \sqrt{15} = (3^{2} \cdot 5) \cdot (3 \cdot 5)^{1 / 2}

= 3^{2} \cdot 5^{1} \cdot 3^{1 / 2} \cdot 5^{1 / 2}

= 3^{2 + 0.5} \cdot 5^{1 + 0.5} = 3^{2.5} \cdot 5^{1.5}

Langkah 2: Gunakan sifat perkalian dan pangkat logaritma.

^{2} \log (3^{2.5} \cdot 5^{1.5}) =^{2} \log 3^{2.5} +^{2} \log 5^{1.5}

= 2.5 \cdot^{2} \log 3 + 1.5 \cdot^{2} \log 5

Langkah 3: Substitusi nilai $p$ dan $q$ .

= 2.5 p + 1.5 q atau \frac{5}{2} p + \frac{3}{2} q

= \frac{1}{2} (5 p + 3 q)

Kasus 2: Persamaan Logaritma

Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari $^{2} \log (x^{2} - 3 x) =^{2} \log (x + 5)$ .

Pembahasan Lengkap:

Langkah 1: Karena basisnya sama (basis 2), samakan numerusnya.

x^{2} - 3 x = x + 5

x^{2} - 4 x - 5 = 0

Langkah 2: Faktorkan persamaan kuadrat.

(x - 5) (x + 1) = 0

x = 5 atau x = - 1

Langkah 3: Uji Syarat Numerus (Numerus harus > 0).

Untuk $x = 5$ :
- Numerus 1: $5^{2} - 3 (5) = 25 - 15 = 10 > 0$ (Valid)
- Numerus 2: $5 + 5 = 10 > 0$ (Valid)
Untuk $x = - 1$ :
- Numerus 1: $(- 1)^{2} - 3 (- 1) = 1 + 3 = 4 > 0$ (Valid)
- Numerus 2: $- 1 + 5 = 4 > 0$ (Valid)

Kesimpulan: Himpunan penyelesaiannya adalah ${- 1, 5}$ .

Glosarium Istilah Logaritma

Basis (Bilangan Pokok)

Bilangan yang menjadi dasar perpangkatan. Dalam notasi $^{a} \log b$ , $a$ adalah basis.

Numerus

Bilangan yang akan dicari nilai logaritmanya. Dalam $^{a} \log b$ , $b$ adalah numerus.

Logaritma Natural ( $\ln$ )

Logaritma dengan basis konstanta Euler $e \approx 2.718 . . .$ . Biasa digunakan dalam kalkulus dan analisis kompleks.

Logaritma Umum (Log)

Jika basis tidak ditulis (misal: $\log 100$ ), maka diasumsikan basisnya adalah 10.

Daftar Pustaka & Referensi

Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals (8th Edition). Cengage Learning. (Bab: Inverse Functions).
Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2010). Calculus (9th Edition). Pearson Education.
Anton, H., Bivens, I., & Davis, S. (2012). Calculus Early Transcendentals (10th Edition). Wiley.