Mengubah Desimal Rasional Menjadi Pecahan: Langkah Demi Langkah

Kita tahu bahwa salah satu ciri utama bilangan rasional adalah kemampuannya untuk dinyatakan dalam bentuk pecahan p/q. Dalam bentuk desimal, bilangan rasional bisa berupa desimal berhenti (terminating) atau desimal berulang (repeating). Bagaimana cara mengubah kedua bentuk desimal ini kembali menjadi bentuk pecahan? Prosesnya sistematis dan melibatkan pemahaman dasar tentang nilai tempat dan aljabar.

Kasus 1: Desimal Berhenti (Terminating Decimal)

Ini adalah kasus yang paling mudah. Caranya adalah dengan menuliskan angka desimal tersebut sebagai pembilang, dan penyebutnya adalah 1 diikuti oleh sejumlah angka nol sebanyak jumlah angka di belakang koma. Kemudian, sederhanakan pecahan tersebut jika memungkinkan.

Contoh 1: Ubah 0,75 menjadi pecahan.

• Ada 2 angka di belakang koma.
• Bentuk pecahannya adalah 75/100.
• Sederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan FPB-nya (25): 75 ÷ 25 = 3 dan 100 ÷ 25 = 4.
• Hasilnya adalah 3/4.

Contoh 2: Ubah 1,4 menjadi pecahan.

• Ada 1 angka di belakang koma.
• Bentuk pecahannya adalah 14/10.
• Sederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan FPB-nya (2): 14 ÷ 2 = 7 dan 10 ÷ 2 = 5.
• Hasilnya adalah 7/5 (atau 1 2/5).

Kasus 2: Desimal Berulang (Repeating Decimal)

Untuk desimal berulang, kita perlu menggunakan sedikit aljabar.

a) Perulangan Sederhana (Langsung setelah koma)

Contoh 3: Ubah 0,666... menjadi pecahan.

1. Misalkan x = 0,666...
2. Karena ada 1 angka yang berulang (angka 6), kalikan kedua sisi dengan 10¹ = 10:
   10x = 6,666...
3. Kurangkan persamaan kedua dengan persamaan pertama:
   10x - x = 6,666... - 0,666...
   9x = 6
4. Selesaikan untuk x:
   x = 6/9
5. Sederhanakan pecahan: x = 2/3.

Contoh 4: Ubah 0,142857142857... menjadi pecahan.

1. Misalkan x = 0,142857142857...
2. Ada 6 angka yang berulang (142857), kalikan kedua sisi dengan 10⁶ = 1.000.000:
   1.000.000x = 142857,142857...
3. Kurangkan persamaan kedua dengan persamaan pertama:
   1.000.000x - x = 142857,142857... - 0,142857...
   999.999x = 142857
4. Selesaikan untuk x:
   x = 142857 / 999.999
5. Sederhanakan pecahan (jika perlu, gunakan kalkulator FPB atau coba bagi dengan bilangan prima): Ternyata 142857 × 7 = 999.999. Jadi, x = 1/7.

b) Perulangan Campuran (Ada angka yang tidak ikut berulang setelah koma)

Contoh 5: Ubah 0,12333... menjadi pecahan.

1. Misalkan x = 0,12333...
2. Kalikan x agar bagian berulangnya tepat setelah koma. Ada 2 angka tidak berulang (12), jadi kalikan dengan 10² = 100:
   100x = 12,333... (Persamaan 1)
3. Kalikan lagi agar satu blok perulangan lewat di depan koma. Ada 1 angka berulang (3), jadi kalikan Persamaan 1 dengan 10¹ = 10:
   1000x = 123,333... (Persamaan 2)
4. Kurangkan Persamaan 2 dengan Persamaan 1:
   1000x - 100x = 123,333... - 12,333...
   900x = 111
5. Selesaikan untuk x:
   x = 111 / 900
6. Sederhanakan pecahan (FPB dari 111 dan 900 adalah 3): x = 37 / 300.

Menguasai konversi ini penting karena memperkuat pemahaman tentang struktur bilangan rasional dan bagaimana bentuk desimal dan pecahan saling berkaitan. Keterampilan aljabar dasar seperti manipulasi persamaan linear menjadi kunci utama dalam proses ini.