Notasi Sigma & Aturan Aljabar

Dasar Perhitungan Jumlah Terhingga

1. Apa itu Notasi Sigma?

Notasi sigma ( $sigma$ ) digunakan untuk menyingkat penulisan penjumlahan beruntun yang panjang.

Bentuk Umum:

$Rumus Umum Sigma$

Indeks k berjalan dari 1 hingga batas atas n.

Berikut adalah aturan aritmatika dasar yang berlaku pada operasi notasi sigma:

Nama Aturan	Rumus Matematika
1. Sum Rule (Aturan Jumlah)	$\sum_{k=1}^{n}(a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{n}a_k + \sum_{k=1}^{n}b_k$
2. Difference Rule (Aturan Selisih)	$\sum_{k=1}^{n}(a_k - b_k) = \sum_{k=1}^{n}a_k - \sum_{k=1}^{n}b_k$
3. Constant Multiple (Perkalian Konstanta)	$\sum_{k=1}^{n} c \cdot a_k = c \cdot \sum_{k=1}^{n}a_k$
4. Constant Value (Nilai Konstanta)	$\sum_{k=1}^{n} c = n \cdot c$

Hitung nilai dari:

$\sum_{k=1}^{3} (-1)^k k$

                    = (-1)¹(1) + (-1)²(2) + (-1)³(3)
                    = -1 + 2 - 3
                    = -2                

Tuliskan $1 + 3 + 5 + 7 + 9$ dalam sigma.

Pola bilangan ganjil: $2k-1$ .

$\sum_{k=1}^{5} (2k-1)$

a. Memecah Polinom:

$\sum_{k=1}^{n}(3k - k^2) = 3\sum_{k=1}^{n}k - \sum_{k=1}^{n}k^2$

b. Konstanta Pecahan:

$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n} = n \cdot \frac{1}{n} = 1$

$\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}$

Pembuktian Singkat:

Maka: $2S = n(n+1) \implies S = \frac{n(n+1)}{2}$

1. Hitunglah nilai dari $\sum_{k=1}^{3} \frac{k-1}{k}$

2. Notasi sigma untuk: $1+2+4+8+16+32$

3. Hitunglah $\sum_{k=1}^{7} (-2k)$

4. Nilai dari $\sum_{k=1}^{n} 4$ adalah...