Panduan Lengkap Anti Turunan (Integral Tak Tentu)

Dalam kalkulus, kita sering kali dihadapkan pada pertanyaan: "Jika saya mengetahui seberapa cepat sesuatu berubah, bisakah saya mengetahui berapa jumlah aslinya?" Ini adalah inti dari Anti Turunan. Jika turunan (derivatif) memberi kita kemiringan garis singgung atau laju perubahan sesaat, maka anti turunan adalah proses kebalikannya: merekonstruksi fungsi asli dari laju perubahannya.

Definisi Formal Anti Turunan

Sebuah fungsi $F$ disebut sebagai anti turunan dari fungsi $f$ pada suatu interval $I$ jika $F^{'} (x) = f (x)$ untuk setiap $x$ dalam $I$ .

Notasi Integral Tak Tentu

Secara matematis, kita menuliskan hubungan ini menggunakan simbol integral ( $\int$ ): $\int f (x) d x = F (x) + C$

$\int$ : Tanda integral.
$f (x)$ : Integran (fungsi yang diintegralkan).
$d x$ : Diferensial x, menunjukkan variabel integrasi.
$F (x)$ : Fungsi hasil integral (anti turunan).
$C$ : Konstanta integrasi (sebarang bilangan real).

Mengapa Harus Ada "+ C"?

Perhatikan fungsi $F_{1} (x) = x^{2}$ , $F_{2} (x) = x^{2} + 5$ , dan $F_{3} (x) = x^{2} - 100$ . Jika kita mencari turunannya, ketiga fungsi tersebut menghasilkan turunan yang sama: $\frac{d}{d x} (x^{2}) = 2 x, \frac{d}{d x} (x^{2} + 5) = 2 x, \frac{d}{d x} (x^{2} - 100) = 2 x$ Karena turunan dari konstanta adalah nol, kita tidak bisa menentukan nilai konstanta asli hanya dari turunannya. Oleh karena itu, kita menambahkan $C$ untuk mewakili Keluarga Kurva yang mungkin.

Visualisasi Interaktif: Keluarga Anti Turunan

Eksperimen di bawah ini menunjukkan grafik dari anti turunan $f (x) = 2 x$ . Kita tahu hasilnya adalah $F (x) = x^{2} + C$ . Geser slider untuk mengubah nilai $C$ dan perhatikan bagaimana bentuk grafik tetap sama, tetapi posisi vertikalnya bergeser.

Nilai C: 0

Persamaan saat ini: $y = x^{2}$ + 0

Rumus Dasar Anti Turunan (Aturan Pangkat)

Untuk setiap bilangan real $n \neq - 1$ , berlaku rumus:

\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C

Bukti Aturan Pangkat ( $n \neq - 1$ )

Untuk membuktikan rumus di atas, kita cukup mendiferensiasikan (menurunkan) ruas kanan. Jika hasilnya sama dengan integran ( $x^{n}$ ), maka rumus tersebut terbukti benar.

Turunkan $F (x) = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$ terhadap $x$ : $\frac{d}{d x} (\frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C)$

Menggunakan aturan konstanta dan aturan pangkat turunan: $= \frac{1}{n + 1} \cdot \frac{d}{d x} (x^{n + 1}) + \frac{d}{d x} (C)$ $= \frac{1}{n + 1} \cdot ((n + 1) x^{(n + 1) - 1}) + 0$ $= \frac{n + 1}{n + 1} \cdot x^{n}$ $= x^{n}$

Terbukti bahwa $F^{'} (x) = x^{n}$ . $◼$

Kasus Sederhana: Jika $n = 1$

Sebagai contoh penerapan langsung dari aturan pangkat, mari kita lihat kasus saat $n = 1$ . Ini adalah integral dari fungsi identitas $f (x) = x$ .

\int x d x = \frac{1}{2} x^{2} + C

Bukti:

Kita uji kebenaran hasil di atas dengan menurunkannya kembali. Turunkan $F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ terhadap $x$ :

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ $= \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (C)$ $= \frac{1}{2} \cdot (2 x) + 0$ $= x$

Karena hasil turunannya kembali menjadi $x$ (integran awal), maka rumus ini terbukti benar. $◼$

Kasus Khusus: Jika $n = - 1$

Anda mungkin bertanya, mengapa rumus pangkat di atas memiliki syarat $n \neq - 1$ ? Jika kita memaksakan $n = - 1$ , maka kita akan mendapatkan pembagian dengan nol ( $\frac{x^{- 1 + 1}}{- 1 + 1} = \frac{x^{0}}{0}$ ), yang tidak terdefinisi.

Untuk kasus $n = - 1$ , integralnya adalah $\int x^{- 1} d x$ atau $\int \frac{1}{x} d x$ . Jawabannya melibatkan fungsi logaritma natural:

\int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C

Bukti untuk Kasus $n = - 1$

Kita perlu membuktikan bahwa turunan dari $\ln | x |$ adalah $\frac{1}{x}$ . Kita bagi menjadi dua kasus berdasarkan nilai mutlak:

Kasus 1: $x > 0$

Maka $| x | = x$ . Turunannya adalah: $\frac{d}{d x} (\ln x) = \frac{1}{x}$

Kasus 2: $x < 0$

Maka $| x | = - x$ . Kita gunakan Aturan Rantai (Chain Rule): $\frac{d}{d x} (\ln (- x)) = \frac{1}{- x} \cdot \frac{d}{d x} (- x)$ $= \frac{1}{- x} \cdot (- 1) = \frac{1}{x}$

Karena untuk kedua kasus hasilnya adalah $\frac{1}{x}$ , maka terbukti bahwa $\int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C$ . $◼$

Contoh Penerapan:

Carilah integral dari $f (x) = x^{3} + 5 x$ .
Jawab: $\int (x^{3} + 5 x) d x = \int x^{3} d x + 5 \int x^{1} d x$ $= \frac{x^{3 + 1}}{3 + 1} + 5 (\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}) + C$ $= \frac{1}{4} x^{4} + \frac{5}{2} x^{2} + C$

Anti Turunan Fungsi Trigonometri Dasar

Mengingat kembali turunan fungsi trigonometri, kita dapat menyimpulkan integral berikut:

$\int \sin x d x = - \cos x + C$
$\int \cos x d x = \sin x + C$
$\int \sec^{2} x d x = \tan x + C$

Aplikasi dalam Kehidupan Nyata

Salah satu aplikasi paling nyata dari anti turunan adalah dalam fisika gerak. Jika kita mengetahui fungsi kecepatan $v (t)$ dari sebuah objek, kita dapat mencari fungsi posisi $s (t)$ dengan mengintegralkannya.

$s (t) = \int v (t) d t$

Misalnya, sebuah bola dilempar ke atas dengan kecepatan awal. Gravitasi memberikan percepatan negatif konstan. Dengan menggunakan anti turunan dua kali (dari percepatan ke kecepatan, lalu kecepatan ke posisi), kita dapat memprediksi ketinggian bola di setiap detik.

Glosarium

Integran Fungsi

f (x)

yang berada di dalam tanda integral untuk dicari anti turunannya.

Konstanta Integrasi (

C

) Nilai konstan sebarang yang ditambahkan pada hasil integral tak tentu untuk mengakomodasi turunan dari konstanta yang bernilai nol.

Variabel Integrasi Variabel yang menjadi acuan pengintegralan, ditandai dengan

d x

,

d t

, dsb.

Keluarga Kurva Kumpulan grafik fungsi yang memiliki bentuk (kemiringan) yang sama tetapi berbeda pergeseran vertikalnya.

Logaritma Natural (

\ln

) Logaritma dengan basis bilangan Euler (

e \approx 2.718

), merupakan anti turunan dari

1 / x

.

Referensi Materi

Varberg, D., Purcell, E. J., & Rigdon, S. E. (2007). Calculus (9th ed.). Prentice Hall.
Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning.
Anton, H., Bivens, I. C., & Davis, S. (2012). Calculus (10th ed.). Wiley.