Pembuktian Matematis: Mengapa Akar 2 (√2) Bilangan Irasional

Dalam matematika, kita membagi bilangan real menjadi dua kategori besar: rasional (dapat dinyatakan sebagai pecahan) dan irasional (tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan). Akar kuadrat dari 2 (√2) adalah salah satu contoh paling klasik dari bilangan irasional. Namun, bagaimana kita membuktikannya?

Pembuktian ini adalah contoh indah dari metode pembuktian tidak langsung atau Reductio ad Absurdum (pembuktian dengan kontradiksi). Kita akan memulai dengan mengasumsikan kebalikan dari apa yang ingin kita buktikan, dan kemudian menunjukkan bahwa asumsi tersebut mengarah pada sebuah kemustahilan (kontradiksi).

Langkah-Langkah Pembuktian (dengan Kontradiksi)

1. Asumsi Awal (Anggapan Salah): Mari kita asumsikan bahwa √2 adalah bilangan rasional.
2. Definisi Bilangan Rasional: Jika √2 rasional, maka ia dapat ditulis sebagai pecahan p/q, di mana p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0. Kita juga dapat mengasumsikan bahwa pecahan p/q ini sudah dalam bentuk paling sederhana (tidak bisa disederhanakan lagi), yang berarti p dan q tidak memiliki faktor persekutuan selain 1 (relatif prima).
3. Manipulasi Aljabar:
   • √2 = p/q
   • Kuadratkan kedua sisi: 2 = p²/ q²
   • Kalikan kedua sisi dengan q²: 2q² = p²
4. Menganalisis p:
   • Persamaan 2q² = p² menunjukkan bahwa p² adalah bilangan genap (karena merupakan hasil kali 2 dengan bilangan lain).
   • Jika kuadrat suatu bilangan (p²) adalah genap, maka bilangan itu sendiri (p) juga harus genap. (Karena ganjil × ganjil = ganjil).
5. Menganalisis q:
   • Karena p adalah bilangan genap, kita bisa menuliskannya sebagai p = 2k, di mana k adalah bilangan bulat lain.
   • Substitusikan p = 2k ke dalam persamaan kita: 2q² = (2k)²
   • 2q² = 4k²
   • Bagi kedua sisi dengan 2: q² = 2k²
   • Ini menunjukkan bahwa q² adalah bilangan genap.
   • Sama seperti sebelumnya, jika q² genap, maka q juga harus genap.
6. Menemukan Kontradiksi:
   • Dari langkah 4, kita menyimpulkan bahwa p adalah genap.
   • Dari langkah 5, kita menyimpulkan bahwa q adalah genap.
   • Jika p dan q keduanya genap, berarti keduanya memiliki faktor persekutuan 2. Pecahan p/q dapat disederhanakan (dibagi 2).
   • Ini berkontradiksi (bertentangan) dengan asumsi kita di langkah 2 bahwa p/q adalah pecahan paling sederhana.
7. Kesimpulan: Karena asumsi awal kita (√2 adalah rasional) mengarah pada kontradiksi logis, maka asumsi tersebut harus salah. Oleh karena itu, kebalikannya harus benar: √2 adalah bilangan irasional.