Persamaan Lingkaran Lengkap: Rumus, Garis Singgung & Pembahasan Soal

Kompendium Geometri Analitik: Dari Konsep Dasar hingga Analisis Garis Singgung dan Kedudukan Dua Lingkaran.

1. Konsep Dasar & Visualisasi

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik (locus) pada bidang datar yang berjarak sama ($r$) terhadap suatu titik tertentu (pusat).

Simulasi Parameter Lingkaran

Ubah nilai $a, b,$ dan $r$ untuk melihat transformasi bentuk baku $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$.

Pusat X (a): 0

Pusat Y (b): 0

Jari-jari (r): 4

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 16$

2. Tiga Bentuk Persamaan Lingkaran

A. Pusat di $O(0,0)$

Bentuk paling sederhana, diturunkan langsung dari Teorema Pythagoras.

$$x^2 + y^2 = r^2$$

B. Pusat di $P(a,b)$

Disebut Bentuk Baku. Terjadi pergeseran pusat sejauh $(a,b)$.

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

C. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Jika bentuk baku dijabarkan, kita memperoleh bentuk polinomial:

$$x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$$

Untuk mengonversi balik ke pusat dan jari-jari, gunakan rumus:

Pusat $P(a,b)$: $$P\left(-\frac{1}{2}A, -\frac{1}{2}B\right)$$
Jari-jari $r$: $$r = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}A\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}B\right)^2 - C}$$

Syarat: Nilai di dalam akar harus positif ($>0$) agar lingkaran nyata.

3. Kedudukan Titik dan Garis

A. Kuasa Titik (Power of a Point)

Substitusikan titik $(x_1, y_1)$ ke persamaan lingkaran $K$.

Nilai Kuasa ($K$)	Posisi Titik
$K < r^2$	Di dalam lingkaran
$K = r^2$	Pada lingkaran
$K > r^2$	Di luar lingkaran

B. Kedudukan Garis ($y = mx + c$)

Substitusikan persamaan garis ke persamaan lingkaran hingga terbentuk persamaan kuadrat satu variabel ($ax^2 + bx + c = 0$). Cek nilai Diskriminan ($D = b^2 - 4ac$):

$D > 0$: Garis memotong lingkaran di dua titik.
$D = 0$: Garis menyinggung lingkaran (satu titik).
$D < 0$: Garis tidak memotong ataupun menyinggung.

4. Persamaan Garis Singgung Lingkaran (PGS)

Ada tiga kondisi utama dalam menentukan persamaan garis singgung:

Kasus 1: Melalui Titik Pada Lingkaran $(x_1, y_1)$

Ini dikenal sebagai rumus "bagi adil".

Pusat $(0,0)$	$$x_1x + y_1y = r^2$$
Pusat $(a,b)$	$$(x_1-a)(x-a) + (y_1-b)(y-b) = r^2$$
Bentuk Umum	$$x_1x + y_1y + \frac{A}{2}(x+x_1) + \frac{B}{2}(y+y_1) + C = 0$$

Kasus 2: Gradien ($m$) Diketahui

Jika kemiringan garis diketahui, akan selalu ada dua garis singgung sejajar.

Untuk Pusat $(a,b)$: $$y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{1 + m^2}$$

*Untuk pusat $(0,0)$, substitusi $a=0$ dan $b=0$.

5. Kedudukan Dua Lingkaran

Misalkan ada dua lingkaran dengan pusat $P_1, P_2$ dan jari-jari $R, r$ (dimana $R > r$). Jarak antar pusat adalah $d = |P_1P_2|$.

$d = 0$: Sepusat $d < R-r$: Di dalam $d = R-r$: Bersinggungan dalam $R-r < d < R+r$: Berpotongan $d = R+r$: Bersinggungan luar $d > R+r$: Saling lepas

Contoh Soal dan Pembahasan

Soal 1: Menentukan Pusat dan Jari-jari dari Bentuk Umum

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$.

Pembahasan:

Dari persamaan, didapat $A = -4$, $B = 6$, $C = -12$.

Pusat $(a,b)$:
$a = -A/2 = -(-4)/2 = 2$
$b = -B/2 = -(6)/2 = -3$
Jadi, Pusat $P(2, -3)$.
Jari-jari $(r)$:
$r = \sqrt{a^2 + b^2 - C}$
$r = \sqrt{2^2 + (-3)^2 - (-12)}$
$r = \sqrt{4 + 9 + 12} = \sqrt{25} = 5$.

Jawaban: Pusat $(2, -3)$ dan Jari-jari $5$.

Soal 2: Persamaan Garis Singgung dengan Gradien Tertentu

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 9$ yang memiliki gradien $m = 2$.

Pembahasan:

Diketahui: Pusat $(1, -2)$, $r = \sqrt{9} = 3$, $m = 2$.

Rumus: $y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{1 + m^2}$

$y - (-2) = 2(x - 1) \pm 3\sqrt{1 + 2^2}$
$y + 2 = 2x - 2 \pm 3\sqrt{5}$
$y = 2x - 4 \pm 3\sqrt{5}$

Jawaban: $y = 2x - 4 + 3\sqrt{5}$ atau $y = 2x - 4 - 3\sqrt{5}$.

Glosarium Istilah

Diskriminan ($D$): Nilai $b^2-4ac$ yang menentukan jumlah solusi real pada persamaan kuadrat; digunakan untuk cek posisi garis.
Garis Singgung (Tangent): Garis yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik saja.
Konsentris: Dua atau lebih lingkaran yang memiliki titik pusat yang sama.

Referensi Akademik

Varberg, D., Purcell, E. J., & Rigdon, S. E. (2011). Calculus (9th ed.). Pearson Education.
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. (2017). Matematika Peminatan MIPA Kelas XI. Jakarta: Kemendikbud.
Larson, R., & Edwards, B. H. (2018). Calculus of a Single Variable. Cengage Learning.

Kata Kunci: Rumus Persamaan Lingkaran Kelas 11, Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Lingkaran, Materi Matematika Peminatan Lingkaran, Pusat dan Jari-jari Lingkaran, Kedudukan Garis terhadap Lingkaran, Rumus Lingkaran Lengkap.