Rumus Lengkap Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar Segitiga Beserta Pembuktiannya

Panduan Geometri Analitik untuk Mahasiswa dan Umum

Dalam dunia geometri, hubungan antara segitiga dan lingkaran adalah salah satu topik yang paling elegan dan penuh dengan aplikasi nyata, mulai dari desain arsitektur hingga navigasi GPS. Dua konsep fundamental yang wajib dipahami adalah Lingkaran Luar (Circumcircle) dan Lingkaran Dalam (Incircle).

Artikel ini akan mengupas tuntas definisi, rumus jari-jari, pembuktian matematis, serta simulasi interaktif untuk memvisualisasikan kedua objek geometri tersebut secara mendalam.

1. Lingkaran Luar Segitiga (Circumcircle)

Lingkaran luar segitiga adalah lingkaran yang melalui ketiga titik sudut segitiga. Titik pusat lingkaran ini disebut circumcenter, yang merupakan titik potong dari ketiga garis sumbu (garis tegak lurus yang membagi sisi segitiga menjadi dua bagian sama panjang).

Teorema dan Rumus Jari-jari Luar ($R$)

Misalkan sebuah segitiga memiliki panjang sisi $a$, $b$, dan $c$, serta luas $L$. Jari-jari lingkaran luarnya ($R$) dapat dihitung dengan rumus:

$$ R = \frac{abc}{4L} $$

Atau menggunakan Aturan Sinus:

$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $$

Pembuktian Rumus

Tinjau segitiga $ABC$. Tarik garis tinggi dari $C$ ke $AB$, misalkan panjangnya $h$. Luas segitiga adalah $L = \frac{1}{2} c \cdot h$. Dari trigonometri pada segitiga siku-siku, kita tahu bahwa $\sin A = \frac{h}{b}$ atau $h = b \sin A$.

Sehingga, $L = \frac{1}{2}bc \sin A$. Maka, $\sin A = \frac{2L}{bc}$.

Substitusi ke Aturan Sinus $\frac{a}{\sin A} = 2R$:

$$ 2R = \frac{a}{\frac{2L}{bc}} = \frac{abc}{2L} \implies R = \frac{abc}{4L} $$

(Q.E.D)

2. Lingkaran Dalam Segitiga (Incircle)

Lingkaran dalam segitiga adalah lingkaran yang menyinggung ketiga sisi segitiga dari dalam. Titik pusatnya disebut incenter, yang merupakan titik potong dari ketiga garis bagi sudut segitiga.

Teorema dan Rumus Jari-jari Dalam ($r$)

Jika $s$ adalah setengah keliling segitiga ($s = \frac{1}{2}(a+b+c)$) dan $L$ adalah luas segitiga, maka jari-jari lingkaran dalam ($r$) adalah:

$$ r = \frac{L}{s} $$

Luas segitiga sendiri dapat dicari menggunakan Rumus Heron:

$$ L = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$

Pembuktian Rumus

Hubungkan titik pusat lingkaran dalam $I$ ke ketiga titik sudut $A, B, C$. Segitiga besar $ABC$ kini terbagi menjadi tiga segitiga kecil: $\triangle IAB$, $\triangle IBC$, dan $\triangle ICA$. Tinggi masing-masing segitiga kecil ini adalah jari-jari $r$.

Luas total $ABC$ adalah jumlah luas ketiga segitiga tersebut:

$$ L = \text{Luas}(\triangle IAB) + \text{Luas}(\triangle IBC) + \text{Luas}(\triangle ICA) $$ $$ L = \frac{1}{2}c \cdot r + \frac{1}{2}a \cdot r + \frac{1}{2}b \cdot r $$ $$ L = r \left( \frac{a+b+c}{2} \right) = r \cdot s $$

Maka, $r = \frac{L}{s}$. (Q.E.D)

3. Simulasi Visual Interaktif: Geometri Dinamis

Untuk memahami posisi titik pusat dan perbedaan ukuran kedua lingkaran, gunakan simulasi di bawah ini. Anda dapat menggeser titik sudut segitiga (titik merah) untuk melihat perubahan secara real-time.

Geser Titik Merah (A, B, atau C)

Tampilkan Lingkaran Dalam Tampilkan Lingkaran Luar

            Data Geometri akan muncul di sini.
        

4. Kalkulator Jari-Jari (dengan Langkah Penyelesaian)

Masukkan panjang sisi segitiga (bilangan bulat) di bawah ini untuk melihat proses perhitungan lengkap, termasuk hasil dalam bentuk akar (irasional).

Sisi a: 10

Sisi b: 10

Sisi c: 10

Sesuaikan slider di atas untuk melihat perhitungan langkah demi langkah.

5. Glosarium Istilah

Incenter: Titik pusat lingkaran dalam, perpotongan garis bagi sudut.

Circumcenter: Titik pusat lingkaran luar, perpotongan garis sumbu sisi.

Garis Sumbu (Perpendicular Bisector): Garis yang tegak lurus terhadap sisi segitiga dan membaginya menjadi dua sama panjang.

Garis Bagi (Angle Bisector): Garis yang membagi sudut segitiga menjadi dua sudut sama besar.

Semiperimeter ($s$): Setengah dari keliling segitiga.

Sumber Referensi:

Alexander, D. C., & Koeberlein, G. M. (2014). Elementary Geometry for College Students. Cengage Learning.
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. (2017). Matematika Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK. Jakarta: Kemendikbud.
Posamentier, A. S. (2010). The Pythagorean Theorem: The Story of Its Power and Beauty. Prometheus Books.

Keywords: rumus lingkaran dalam segitiga, rumus lingkaran luar segitiga, geometri analitik, matematika sma kelas xi, jari-jari lingkaran dalam dan luar, titik pusat segitiga, circumcenter dan incenter, contoh soal matematika, geometri bidang datar.