Cara Cepat Menyusun Persamaan Kuadrat Baru: Rumus & Simulasi

Dalam aljabar, setelah kita belajar mencari akar-akar, tantangan berikutnya adalah membalik prosesnya: jika akarnya diketahui, bagaimana bentuk persamaannya?

Materi ini sangat sering muncul dalam ujian sekolah maupun seleksi masuk perguruan tinggi (SNBT). Namun, sebelum masuk lebih dalam, pastikan Anda sudah memahami cara mencari akar-akar persamaan kuadrat.

Konsep Dasar: Jumlah dan Hasil Kali Akar

Jika sebuah persamaan kuadrat $a x^{2} + b x + c = 0$ memiliki akar-akar $x_{1}$ dan $x_{2}$ , maka kita dapat menyusun kembali persamaan tersebut menggunakan dua komponen utama:

x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + (x_{1} \cdot x_{2}) = 0

Rumus ini dibaca sebagai:

" $x$ kuadrat dikurang (Jumlah Akar) dikali $x$ , ditambah (Hasil Kali Akar) sama dengan nol."

Komponen Penyusun:

Jumlah Akar (Sum): $S = x_{1} + x_{2}$
Hasil Kali Akar (Product): $P = x_{1} \cdot x_{2}$

Contoh Sederhana:
Jika akar-akarnya 3 dan 4:
$S = 3 + 4 = 7$
$P = 3 \times 4 = 12$
Maka persamaannya: $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ .

🎨 Laboratorium Interaktif

Ayo coba sendiri! Geser slider di bawah ini untuk mengubah nilai akar ( $x_{1}$ dan $x_{2}$ ). Perhatikan bagaimana tanda positif/negatif pada persamaan berubah secara otomatis.

Akar 1 ( $x_{1}$ ): 2

Akar 2 ( $x_{2}$ ): 3

Perhitungan:

1. Jumlah ( $S$ ): $x_{1} + x_{2} =$ 5

2. Kali ( $P$ ): $x_{1} \cdot x_{2} =$ 6

Hasil Persamaan Kuadrat Baru:

x² - 5x + 6 = 0

🚀 Trik Cepat & Pengembangan (HOTS)

Seringkali soal ujian tidak meminta menyusun dari angka langsung, melainkan dari akar-akar persamaan lain. Misal: "Akar-akar persamaan baru adalah $2 x_{1}$ dan $2 x_{2}$ dari persamaan lama".

Berikut adalah Tabel Rumus Cepat yang wajib dihafal untuk menghemat waktu:

Hubungan Akar Baru & Lama	Rumus Cepat (Trik Substitusi)
Akar baru $n$ kali akar lama ( $n x_{1}, n x_{2}$ )	Ganti $x$ dengan $\frac{x}{n}$
Akar baru lebih besar $n$ ( $x_{1} + n, x_{2} + n$ )	Ganti $x$ dengan $(x - n)$
Akar baru lebih kecil $n$ ( $x_{1} - n, x_{2} - n$ )	Ganti $x$ dengan $(x + n)$
Akar berkebalikan ( $\frac{1}{x_{1}}, \frac{1}{x_{2}}$ )	Tukar posisi koefisien $a$ dan $c$
Akar berlawanan tanda ( $- x_{1}, - x_{2}$ )	Ganti tanda koefisien $b$

📝 Contoh Soal & Pembahasan Lengkap

Klik pada judul soal untuk melihat langkah penyelesaiannya.

Level: Dasar

Soal: Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah 5 dan -3!

Pembahasan:

Langkah 1: Identifikasi Akar

x_{1} = 5

x_{2} = - 3

Langkah 2: Hitung Jumlah dan Hasil Kali
Jumlah (

S

)

= 5 + (- 3) = 2

Kali (

P

)

= 5 \cdot (- 3) = - 15

Langkah 3: Masukkan ke Rumus

x^{2} - (S) x + (P) = 0

x^{2} - (2) x + (- 15) = 0

Hasil: $x^{2} - 2 x - 15 = 0$

Level: Menengah

Soal: Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah $\frac{2}{3}$ dan $\frac{1}{2}$ !

Langkah 1: Hitung Jumlah ( $x_{1} + x_{2}$ )

S = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6}

Langkah 2: Hitung Hasil Kali ( $x_{1} \cdot x_{2}$ )

P = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

Langkah 3: Substitusi ke Rumus

x^{2} - \frac{7}{6} x + \frac{1}{3} = 0

Agar tidak ada pecahan, kalikan semua suku dengan 6 (KPK penyebut):

6 (x^{2}) - 6 (\frac{7}{6} x) + 6 (\frac{1}{3}) = 0

Hasil: $6 x^{2} - 7 x + 2 = 0$

Level: HOTS (Tipe SNBT)

Soal: Diketahui persamaan kuadrat $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ memiliki akar-akar $x_{1}$ dan $x_{2}$ . Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya ( $x_{1} + 2$ ) dan ( $x_{2} + 2$ )!

Pembahasan (Cara Cepat Substitusi Invers):

Konsep: Jika akar baru adalah

x_{b a r u} = x_{l a m a} + 2

, maka

x_{l a m a} = x_{b a r u} - 2

.
Ganti setiap variabel

x

pada persamaan lama dengan

(x - 2)

x^{2} - 3 x - 10 = 0

Ganti

x

dengan

(x - 2)

(x - 2)^{2} - 3 (x - 2) - 10 = 0

Uraikan:

(x^{2} - 4 x + 4) - (3 x - 6) - 10 = 0

Kelompokkan suku sejenis:

x^{2} - 4 x - 3 x + 4 + 6 - 10 = 0

Hasil: $x^{2} - 7 x = 0$

Level: HOTS

Soal: Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya berkebalikan ( $\frac{1}{x_{1}}, \frac{1}{x_{2}}$ ) dari akar-akar persamaan $2 x^{2} - 4 x + 6 = 0$ !

Trik Super Cepat:
Untuk akar berkebalikan, cukup tukar posisi $a$ dan $c$ .
Bentuk umum:

a x^{2} + b x + c = 0 \to c x^{2} + b x + a = 0

Persamaan lama:

2 x^{2} - 4 x + 6 = 0

a = 2, b = - 4, c = 6

.

Tukar

a

dan

c

6 x^{2} - 4 x + 2 = 0

Sederhanakan (bagi 2):
Hasil: $3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Level: Expert (Jumlah Kuadrat)

Soal: Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ akar-akar dari $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ , tentukan nilai dari $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ !

Identifikasi Koefisien:

a = 1, b = - 6, c = 5

x_{1} + x_{2} = - b / a = - (- 6) / 1 = 6

x_{1} \cdot x_{2} = c / a = 5 / 1 = 5

Gunakan Identitas Aljabar:

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 (x_{1} \cdot x_{2})

Hitung:

= (6)^{2} - 2 (5)

= 36 - 10

Hasil: 26

🧠 Kuis Tantangan (5 Soal Acak)

Uji pemahamanmu sekarang. Soal akan diacak dari bank soal kami setiap kali Anda memulai ulang.

Soal 1 / 5 Skor: 0

Tentukan PK yang akar-akarnya 1/2 dan 2!

📚 Glosarium

Akar Persamaan (Roots): Nilai pengganti variabel yang membuat persamaan menjadi pernyataan yang benar (sama dengan nol).
Koefisien (Coefficient): Faktor perkalian dalam beberapa suku dari sebuah polinomial (angka di depan variabel).
Konstanta (Constant): Suku yang tidak memuat variabel.
Invers (Inverse): Operasi kebalikan, sering digunakan dalam trik menyusun persamaan kuadrat baru.

🔗 Sumber Referensi

Kemendikbud. (2017). Buku Matematika Kelas IX SMP/MTs Kurikulum 2013 Edisi Revisi 2018. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan.
Varberg, D., Purcell, E. J., & Rigdon, S. E. (2010). Calculus (9th ed.). Prentice Hall.

Keywords: cara menyusun persamaan kuadrat baru, rumus jumlah dan hasil kali akar, contoh soal persamaan kuadrat kelas 9, matematika sma kelas 10, kalkulator persamaan kuadrat, menyusun pk baru dari akar-akar, trik cepat persamaan kuadrat.