10 Latihan Soal Washer Method (Uji Mandiri)

Perdalam pemahaman Anda dengan 10 soal uji mandiri berikut. Klik tombol pembahasan pada setiap pertanyaan untuk membuka kunci jawaban ringkasnya secara interaktif.

1. Tentukan volume daerah yang dibatasi oleh $y=x$ dan $y=x^3$ di kuadran pertama, diputar mengelilingi sumbu-x.
   Lihat Pembahasan & Jawaban

   Batas integrasi $x=0$ ke $x=1$. Jari-jari luar $R(x)=x$ (karena lebih besar dari $x^3$ di pecahan antara 0 dan 1), dalam $r(x)=x^3$.
   $V = \pi \int_0^1 (x^2 - x^6) dx = \pi \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{7}x^7 \right]_0^1 = \pi(\frac{1}{3} - \frac{1}{7}) = \frac{4\pi}{21}$.
2. Daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^2$ dan garis mendatar $y=4$ diputar mengelilingi sumbu-x. Hitunglah volumenya!
   Lihat Pembahasan & Jawaban

   Batas potong kurva di $x=-2$ sampai $x=2$. Jari-jari luar konstan $R(x)=4$, dalam $r(x)=x^2$.
   $V = \pi \int_{-2}^2 (16 - x^4) dx = \pi \left[ 16x - \frac{1}{5}x^5 \right]_{-2}^2 = \frac{256\pi}{5}$.
3. Sebuah daerah dibatasi oleh parabola $x=y^2$ dan garis $x=2y$. Berapakah volumenya jika daerah tersebut diputar pada sumbu-y?
   Lihat Pembahasan & Jawaban

   Karena memutar pada sumbu-y, pakai variabel $y$. Titik potong $y^2 = 2y \Rightarrow y=0, y=2$. Jari-jari luar $R(y)=2y$, dalam $r(y)=y^2$.
   $V = \pi \int_0^2 ((2y)^2 - (y^2)^2) dy = \pi \int_0^2 (4y^2 - y^4) dy = \frac{64\pi}{15}$.
4. Daerah yang dibatasi oleh kurva akar $y=\sqrt{x}$ dan garis lurus $y=x$ diputar mengelilingi sumbu-x. Tentukan volume solid tersebut.
   Lihat Pembahasan & Jawaban

   Titik potong berada di $x=0$ dan $x=1$. Posisi $\sqrt{x} > x$ pada rentang tersebut, sehingga $R(x)=\sqrt{x}$ dan $r(x)=x$.
   $V = \pi \int_0^1 (x - x^2) dx = \pi \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1 = \frac{\pi}{6}$.
5. Hitung volume daerah yang dibatasi kurva $y=x$ dan parabola $y=x^2$, apabila daerah tersebut diputar mengelilingi garis $y=-1$.
   Lihat Pembahasan & Jawaban

   Batas $x=0$ ke $x=1$. Jarak kurva ke poros putar $y=-1$ adalah: luar $R(x)=x - (-1) = x+1$, dalam $r(x)=x^2 - (-1) = x^2+1$.
   $V = \pi \int_0^1 ((x+1)^2 - (x^2+1)^2) dx = \frac{7\pi}{15}$.
6. Daerah yang dibatasi kurva trigonometri $y=\sec x$, garis $y=1$, dari $x=-\frac{\pi}{4}$ hingga $x=\frac{\pi}{4}$, diputar pada sumbu-x. Tentukan rumusan dan hasil volumenya.
   Lihat Pembahasan & Jawaban

   Jari-jari luar $R(x)=\sec x$, jari-jari dalam $r(x)=1$. Batas $[-\pi/4, \pi/4]$.
   $V = \pi \int_{-\pi/4}^{\pi/4} (\sec^2 x - 1) dx = \pi \left[ \tan x - x \right]_{-\pi/4}^{\pi/4} = 2\pi(1 - \frac{\pi}{4})$.
7. Diberikan daerah di antara fungsi eksponensial $y=e^x$, garis $y=1$, dan batas $x=1$. Hitung volumenya jika diputar terhadap sumbu-x.
   Lihat Pembahasan & Jawaban

   Batas integrasi mulai dari titik potong $y=e^x$ dan $y=1$ yaitu $x=0$, hingga $x=1$. Jari-jari luar $R(x)=e^x$, dalam $r(x)=1$.
   $V = \pi \int_0^1 ((e^x)^2 - 1^2) dx = \pi \int_0^1 (e^{2x} - 1) dx = \pi \left[ \frac{1}{2}e^{2x} - x \right]_0^1 = \frac{\pi}{2}(e^2 - 3)$.
8. Tentukan volume yang terbentuk jika daerah antara $y=x$ dan $y=x^2$ diputar mengelilingi sumbu vertikal $x=3$.
   Lihat Pembahasan & Jawaban

   Gunakan elemen $dy$. Batas integrasi $y=0$ ke $y=1$. Kurva diubah menjadi $x_{kanan}=\sqrt{y}$, $x_{kiri}=y$. Jarak tegak lurus ke garis $x=3$ adalah $R(y)=3-y$ (kurva paling jauh dari x=3) dan $r(y)=3-\sqrt{y}$ (kurva paling dekat dengan x=3).
   $V = \pi \int_0^1 ((3-y)^2 - (3-\sqrt{y})^2) dy = \frac{5\pi}{6}$.
9. Hitunglah volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh kurva $y=\sqrt{x}$, sumbu-y ($x=0$), dan garis mendatar $y=2$, yang diputar mengelilingi sumbu-x.
   Lihat Pembahasan & Jawaban

   Perhatikan letak daerahnya. Kurva batas atas selalu $y=2$ (ini $R(x)$), kurva batas bawah adalah $y=\sqrt{x}$ (ini $r(x)$). Titik potong kanan terjadi saat $2=\sqrt{x} \Rightarrow x=4$. Batas integrasi dari $x=0$ sampai $x=4$.
   $V = \pi \int_0^4 (2^2 - (\sqrt{x})^2) dx = \pi \int_0^4 (4 - x) dx = 8\pi$.
10. Sebuah daerah dibatasi oleh fungsi $y=\cos x$ dan $y=\sin x$, dihitung dari sumbu-y ($x=0$) hingga titik potong pertama dari kedua kurva tersebut di kuadran pertama. Berapakah volumenya jika diputar terhadap sumbu-x?
    Lihat Pembahasan & Jawaban

    Titik potong terjadi ketika $\sin x = \cos x$, yaitu di $x=\pi/4$. Pada interval $[0, \pi/4]$, fungsi $\cos x \ge \sin x$. Maka jari-jari luar $R(x)=\cos x$, dalam $r(x)=\sin x$.
    $V = \pi \int_0^{\pi/4} (\cos^2 x - \sin^2 x) dx = \pi \int_0^{\pi/4} \cos(2x) dx = \pi \left[ \frac{1}{2}\sin(2x) \right]_0^{\pi/4} = \frac{\pi}{2}$.