Mengupas Tuntas Permutasi
Membedah logika di balik rumus susunan: Linear, Unsur Sama, Siklis, hingga Berulang.
Permutasi bukan sekadar menghafal rumus, melainkan seni menghitung kemungkinan susunan dengan memperhatikan urutan. Prinsip utamanya: Posisi AB tidak sama dengan BA.
1. Permutasi dari n Elemen (Konsep Faktorial)
Jenis ini digunakan ketika kita ingin menyusun semua objek yang tersedia tanpa menyisakan apapun. Misalnya, Anda diminta menyusun 3 buku (A, B, C) secara berderet di rak.
Logika Pengisian Tempat (Filling Slots):
- Posisi 1: Tersedia 3 pilihan.
- Posisi 2: Sisa 2 pilihan.
- Posisi 3: Sisa 1 pilihan.
Total cara adalah perkalian mundur: .
Dalam matematika, pola perkalian mundur ini disebut Faktorial. Rumus umumnya adalah:
🔎 Eksperimen Faktorial
Geser slider untuk melihat betapa cepatnya jumlah kemungkinan meledak hanya dengan menambah 1 objek.
Total Susunan: 6
2. Permutasi Sebagian (n, r)
Seringkali kita tidak menyusun semua objek, melainkan hanya mengambil sebagian saja. Contoh: Dari 5 calon pengurus, hanya akan dipilih 2 orang untuk posisi Ketua dan Wakil.
Logika Penghentian:
- Kursi Ketua: Ada 5 kandidat.
- Kursi Wakil: Ada 4 kandidat tersisa.
- Berhenti! Karena kursi sudah habis, kita tidak perlu mengalikan sisa 3 orang lainnya.
Total:
Rumus ini pada dasarnya adalah menghitung faktorial, namun membuang ekor perkalian yang tidak terpakai dengan pembagian:
🧮 Kalkulator Susunan Pengurus
Masukkan jumlah kandidat (n) dan kursi tersedia (r).
3. Permutasi dengan Unsur Sama
Bagaimana jika objek yang disusun ada yang kembar? Rumus ini digunakan untuk menghindari perhitungan ganda. Contohnya menyusun huruf dari kata "MAMA".
Bedah Kasus "MAMA":
Jika semua huruf dianggap beda (), ada
cara.
Namun, menukar dengan
tidak mengubah bacaan kata tersebut. Kita harus membuang duplikasi ini dengan pembagian faktorial.
Rumusnya adalah membagi total faktorial dengan faktorial dari jumlah unsur yang kembar:
📝 Analisa Kata Kembar
Ketik kata (misal: "MATEMATIKA"). Sistem akan menghitung susunan uniknya.
4. Permutasi Siklis (Melingkar)
Digunakan saat objek disusun melingkar seperti di meja bundar. Tidak ada ujung dan pangkal yang tetap.
Mengapa Rumusnya (n-1)?
Di meja bundar, posisi ditentukan oleh siapa teman di kiri/kanan, bukan nomor kursi.
Jika semua orang bergeser ke kanan (rotasi), urutan teman duduk TIDAK BERUBAH. Dalam matematika, ini dianggap susunan yang sama.
Agar bisa dihitung, kita harus "memaku" 1 orang agar diam. Hanya sisa orang yang boleh bertukar tempat.
Rumus Akhirnya adalah:
🧮 Kalkulator Meja Bundar
Berapa orang yang duduk melingkar (n)?
Orang5. Permutasi Berulang
Digunakan jika objek boleh dipilih kembali (contoh: password/PIN 3 digit angka 0-9).
Analisis Pengisian Penuh:
Untuk PIN 3 digit angka (0-9):
- Digit 1: 10 pilihan.
- Digit 2: 10 pilihan (angka boleh ulang).
- Digit 3: 10 pilihan.
Total:
Rumus matematikanya adalah:
🔒 Simulator PIN
Pilihan (n) dan panjang kode (r)?
Studi Kasus: Gelang Manik-Manik Rifa
Soal: Rifa ingin membuat sebuah gelang dari 30 manik-manik. Manik-manik tersebut terdiri dari komposisi warna sebagai berikut:
- 5 Merah
- 3 Jingga
- 4 Kuning
- 5 Hijau
- 5 Biru
- 4 Ungu
- 4 Pink
Berapa banyak kemungkinan susunan gelang yang bisa dibuat?
Pembahasan Detail:
Soal ini menggabungkan tiga konsep sekaligus: Unsur Sama, Siklis, dan Reflektif (bisa dibalik).
Langkah 1: Identifikasi Total Anggota (n)
Jumlahkan semua manik-manik:
Langkah 2: Terapkan Konsep Siklis
Karena bentuknya melingkar, kita menggunakan konsep pada pembilang.
Langkah 3: Terapkan Konsep Unsur Sama
Karena ada banyak manik dengan warna yang sama, kita harus membagi dengan faktorial dari jumlah masing-masing warna untuk membuang duplikasi.
Langkah 4: Terapkan Sifat Reflektif (Gelang)
Sebuah gelang jika dibalik (flip) akan menampilkan susunan yang terbalik urutannya, namun bendanya tetap sama. Oleh karena itu, hasil akhir harus dibagi 2.
Rumus Akhir:
Catatan: Hasilnya adalah angka yang sangat besar, sehingga dalam ujian biasanya cukup ditulis dalam bentuk faktorial seperti di atas.
🧠 Quiz: Seberapa Paham Anda?
1. Apa kunci utama Permutasi?

