Mengupas Tuntas Permutasi

Membedah logika di balik rumus susunan: Linear, Unsur Sama, Siklis, hingga Berulang.

Permutasi bukan sekadar menghafal rumus, melainkan seni menghitung kemungkinan susunan dengan memperhatikan urutan. Prinsip utamanya: Posisi AB tidak sama dengan BA.

1. Permutasi dari n Elemen (Konsep Faktorial)

Jenis ini digunakan ketika kita ingin menyusun semua objek yang tersedia tanpa menyisakan apapun. Misalnya, Anda diminta menyusun 3 buku (A, B, C) secara berderet di rak.

Logika Pengisian Tempat (Filling Slots):

Posisi 1: Tersedia 3 pilihan.
Posisi 2: Sisa 2 pilihan.
Posisi 3: Sisa 1 pilihan.

Total cara adalah perkalian mundur: $3x2x1$ .

Dalam matematika, pola perkalian mundur ini disebut Faktorial. Rumus umumnya adalah:

$Rumus Faktorial$

🔎 Eksperimen Faktorial

Geser slider untuk melihat betapa cepatnya jumlah kemungkinan meledak hanya dengan menambah 1 objek.

Jumlah Objek (n): 3

3 x 2 x 1

Total Susunan: 6

2. Permutasi Sebagian (n, r)

Seringkali kita tidak menyusun semua objek, melainkan hanya mengambil sebagian saja. Contoh: Dari 5 calon pengurus, hanya akan dipilih 2 orang untuk posisi Ketua dan Wakil.

Logika Penghentian:

Kursi Ketua: Ada 5 kandidat.
Kursi Wakil: Ada 4 kandidat tersisa.
Berhenti! Karena kursi sudah habis, kita tidak perlu mengalikan sisa 3 orang lainnya.

Total: $5x4$

Rumus ini pada dasarnya adalah menghitung faktorial, namun membuang ekor perkalian yang tidak terpakai dengan pembagian:

$Rumus Permutasi Sebagian$

🧮 Kalkulator Susunan Pengurus

Masukkan jumlah kandidat (n) dan kursi tersedia (r).

Kandidat

Kursi

10 x 9 x 8

720

3. Permutasi dengan Unsur Sama

Bagaimana jika objek yang disusun ada yang kembar? Rumus ini digunakan untuk menghindari perhitungan ganda. Contohnya menyusun huruf dari kata "MAMA".

Bedah Kasus "MAMA":

Jika semua huruf dianggap beda ( $M1A1$ ), ada $24$ cara.

Namun, menukar $M1$ dengan $M2$ tidak mengubah bacaan kata tersebut. Kita harus membuang duplikasi ini dengan pembagian faktorial.

Rumusnya adalah membagi total faktorial dengan faktorial dari jumlah unsur yang kembar:

$Rumus Unsur Sama$

📝 Analisa Kata Kembar

Ketik kata (misal: "MATEMATIKA"). Sistem akan menghitung susunan uniknya.

...

4. Permutasi Siklis (Melingkar)

Digunakan saat objek disusun melingkar seperti di meja bundar. Tidak ada ujung dan pangkal yang tetap.

Mengapa Rumusnya (n-1)?

Di meja bundar, posisi ditentukan oleh siapa teman di kiri/kanan, bukan nomor kursi.

Jika semua orang bergeser ke kanan (rotasi), urutan teman duduk TIDAK BERUBAH. Dalam matematika, ini dianggap susunan yang sama.

Agar bisa dihitung, kita harus "memaku" 1 orang agar diam. Hanya sisa $n-1$ orang yang boleh bertukar tempat.

Posisi Awal

Rumus Akhirnya adalah:

$Rumus Siklis$

🧮 Kalkulator Meja Bundar

Berapa orang yang duduk melingkar (n)?

Orang

(5 - 1)! = 4 x 3 x 2 x 1

5. Permutasi Berulang

Digunakan jika objek boleh dipilih kembali (contoh: password/PIN 3 digit angka 0-9).

Analisis Pengisian Penuh:

Untuk PIN 3 digit angka (0-9):

Digit 1: 10 pilihan.
Digit 2: 10 pilihan (angka boleh ulang).
Digit 3: 10 pilihan.

Total: $10^3$

Rumus matematikanya adalah:

$n pangkat r$

🔒 Simulator PIN

Pilihan (n) dan panjang kode (r)?

Pilihan (n)

Panjang (r)

10 x 10 x 10

1000

Studi Kasus: Gelang Manik-Manik Rifa

Soal: Rifa ingin membuat sebuah gelang dari 30 manik-manik. Manik-manik tersebut terdiri dari komposisi warna sebagai berikut:

5 Merah
3 Jingga
4 Kuning
5 Hijau
5 Biru
4 Ungu
4 Pink

Berapa banyak kemungkinan susunan gelang yang bisa dibuat?

Pembahasan Detail:

Soal ini menggabungkan tiga konsep sekaligus: Unsur Sama, Siklis, dan Reflektif (bisa dibalik).

Langkah 1: Identifikasi Total Anggota (n)
Jumlahkan semua manik-manik:
$n=30$

Langkah 2: Terapkan Konsep Siklis
Karena bentuknya melingkar, kita menggunakan konsep $(n-1)!$ pada pembilang.

Langkah 3: Terapkan Konsep Unsur Sama
Karena ada banyak manik dengan warna yang sama, kita harus membagi dengan faktorial dari jumlah masing-masing warna untuk membuang duplikasi.

Rumus Sementara = $Rumus Siklis Sama$

Langkah 4: Terapkan Sifat Reflektif (Gelang)
Sebuah gelang jika dibalik (flip) akan menampilkan susunan yang terbalik urutannya, namun bendanya tetap sama. Oleh karena itu, hasil akhir harus dibagi 2.

Rumus Akhir:

$Formula Akhir$

Catatan: Hasilnya adalah angka yang sangat besar, sehingga dalam ujian biasanya cukup ditulis dalam bentuk faktorial seperti di atas.

🧠 Quiz: Seberapa Paham Anda?

1. Apa kunci utama Permutasi?

Urutan PENTING

Urutan BEBAS

Barang harus sama

Harus melingkar

Panduan Lengkap Permutasi: Rumus & Logika

Panduan Lengkap Permutasi: Rumus & Logika

Mengupas Tuntas Permutasi